2017全国三卷理科数学高考真题与答案.doc

-2017 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A= (x, y) x2y 21 ，B= ( x, y)yx ，则 AB 中元素的个数为A 3B 2C 1D 02设复数 z满足 (1+i) z=2i ，则 z =1B2C2D 2A 223某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A 月接待游客量逐月增加B 年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4 ( x+ y )(2 x - y )5 的展开式中 x 3y 3 的系数为A -80B -40C 40D 80x2y21(a 0,b 0) 的一条渐近线方程为y5 x , 且与椭圆5 已知双曲线C：b2a22x2y21有公共焦点，则C 的方程为-123x2y 2Bx2y2Cx2y 2x2y2A 14151D181054436设函数 f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是3A f(x)的一个周期为 -2 B y=f(x)的图像关于直线x= 8对称3C f(x+)的一个零点为 x=D f(x)在 (, )单调递减627执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A 5B 4C 3D 28已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B 34CD249等差数列 an的首项为1，公差不为0若 a2， a3， a6 成等比数列，则an 前 6 项的和为A -24B -3C 3D 8x2y21，（ ab0）的左、右顶点分别为A1， A2，且以线段A1A2 为10已知椭圆 C：b2a2直径的圆与直线bx ay 2ab0 相切，则 C 的离心率为63C21A B3D33311已知函数f ( x)x22xa(ex 1e x 1 ) 有唯一零点，则a=A 1B 1C 1D 123212在矩形 ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与BD 相切的圆上 若 AP =AB +AD ，则+ 的最大值为A 3B 2 2C5D 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。xy03x4 y 的最小值为 _ 若x，y满足约束条件xy2 0 ，则 z13y014设等比数列 an满足 a1 + a2 = 1, a1 a3= 3，则 a4 = _x，11 x0f ( x1的 x 的取值范围是 _。15设函数 f (x)x，x， 则满足 f ( x)20216 a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边 AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时， AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为45；直线 AB 与 a 所成角的最小值为60；其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）ABC 的内角A， B，C的对边分别为a， b， c，已知sinA+3 cosA=0， a=27 ,b=2（ 1）求 c；（ 2）设 D 为 BC 边上一点， 且 ADAC,求 ABD 的面积18（ 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20 ， 25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10， 15）15， 20）20 ， 25）25， 30）30， 35）35 ， 40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？19（ 12 分）如图，四面体ABCD 中， ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD = CBD ，AB=BD （ 1）证明：平面 ACD 平面 ABC；（ 2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D AEC 的余弦值20（ 12 分）已知抛物线 C： y2=2 x，过点（ 2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4， -2），求直线 l 与圆 M 的方程21（ 12 分）已知函数 f ( x) =x 1 alnx（ 1）若 f (x) 0 ，求 a 的值；（ 2）设 m 为整数，且对于任意正整数n，(1+1)(1+1)(1+1) m，求 m 的最小2222n值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 4- 4：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2+t , （ t 为参数），直线 l2 的参数方程ykt,x2m,为（ 为参数） 设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 Cym ,mk（ 1）写出 C 的普通方程；（ 2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin)-2 =0，M 为 l 3 与 C 的交点，求 M 的极径23 选修 4- 5：不等式选讲 （ 10分）已知函数f（ x）=x+1x2（ 1）求不等式 f（ x） 1的解集；（ 2）若不等式 f（ x） x2x +m 的解集非空，求 m 的取值范围绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B 2.C3.A 4.C 5.B 6.D7.D 8.B9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -114. -815.（-1 ，+）16.4三、解答题17. 解：（1）由已知得tanA=3，所以A= 23在 ABC中，由余弦定理得28 4c24c cos2，即 c2 +2c-24=03解得c（舍去），c=46（2）有题设可得CAD =，所以BADBACCAD261 AB ADsin故 ABD面积与 ACD面积的比值为21 AC AD612142 sinBAC23，所以的面积为3.又 ABC的面积为ABD218. 解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知P X2002160.290P X300360.490P X50025740.4 .90因此 X 的分布列为X200300500P0.20.40.4由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为 200，因此只需考虑 200 n 500当 300 n 500 时，若最高气温不低于 25，则 Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间20， ,25，则 Y=6 300+2（ n-300 ） -4n=1200-2n;若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（ n-200 ） -4n=800-2n;因此 EY=2n 0.4+ （ 1200-2n ） 0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n当 200 n 300 时，若最高气温不低于20，则 Y=6n-4n=2n;若最高气温低于 20，则 Y=6200+2（ n-200 ） -4n=800-2n;因此 EY=2n (0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n所以 n=300时， Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。19. 解：（1）由题设可得，ABDCBD , 从而 ADDC又 ACD 是直角三角形，所以ACD =90 0取AC的中点 O，连接 DO,BO,则DO AC,DO=AO又由于ABC是正三角形，故BOAC所以DOB为二面角 DACB的平面角在中，BO2AO2AB2Rt AOB又 AB BD ,所以BO2DO2BO2AO2AB22，故0BDDOB=90所以平面 ACD平面 ABC（ 2）由题设及（ 1）知，OA, OB, OD两两垂直， 以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ，则(1，0，0), (0，3，0),(1，0，0), (0，0，1)ABCD由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1，从而 E 到平面 ABC 的距离21，即 E 为 DB 的中点，得 E0，31.故为 D 到平面 ABC 的距离的，2221，0，1 ，2，0，0 ，31AD1， ，ACAE22n AD0，xz0设 n =x,y,z是平面 DAE 的法向量，则31n AE即xy00，2z2可取 n = 1,3,13m AC0，设 m 是平面 AEC 的法向量，则同理可得 m0, 1,3m AE0，n m7则 cos n,m7n m7所以二面角D-AE-C 的余弦值为720.解（1）设 A x1 ,y1 ,B x2 ,y 2,l : xmy2xmy22my 40,则 y1 y24由22x可得 y2y22y1 y22又 x1 = y1 ,x2 = y2=4,故x1x2 =224因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1y2 = -4 =-1x1x24所以 OA OB故坐标原点 O 在圆 M 上 .（2）由（ 1）可得 y1 +y2 =2m,x1 +x2 =m y1 +y2+4=2m24故圆心 M 的坐标为m2 +2， m ，圆 M 的半径 rm22m22由于圆 M 过点 P（ 4，-2），因此 AP BP 0 ,故 x14x2 4y1 2 y220即 x1 x24 x1 +x2y1 y22 y1y220 0由（ 1）可得 y1 y2 =-4，x1x2 =4 ，所以 2m2m10 ，解得m1或m12 .当 m=1 时，直线 l 的方程为 x-y-2=0 ，圆心 M 的坐标为（3,1），圆 M 的半径为10，圆 Mx2y210的方程为311时，直线 l 的方程为 2x91当 my 4 0 ，圆心 M 的坐标为，-242，圆 M 的半径为8522x9+y+ 185，圆 M 的方程为4421621.解：（ 1） f x的定义域为0，+ .若 a 0 ，因为 f1=- 1 +aln20 ，所以不满足题意；22若 a 0，由 f x1axa0,a时， f x 0；当 xa，+时，x知，当 xxf x 0 ，所以fx 在0,a单调递减，在a，+单调递增，故x=a是 fx 在x 0，+ 的唯一最小值点 .由于 f 10 ，所以当且仅当a=1 时， fx0 .故 a=1（2）由（ 1）知当 x1，+时， x1 ln x0令 =1+1得 ln1+ 1 1，从而x2n2n2nln 1+ 1 + ln 1+ 1+ + ln 1+ 1 1 + 1+ 1=1- 112222n2 222n2n故 1+11+11+1 e2222n而 1+11+11+12 ，所以 m 的最小值为 3.2222322.解：（ 1 ）消去参数t 得 l 1的普通方程l1 : y kx2 ；消去参数m 得 l 2 的普通方程l2 : y1x2kykx2设 P（ x,y）,由题设得y1x，消去 k 得 x2y24 y0.2k所以 C 的普通方程为 x2y24y0（2） C 的极坐标方程为 r2 cos2qsin2q40 q 2p q,pr2cos2qsin2q4sinq =2 cosq + sinq联立得 cosq.rcosq + sinq- 2=0故tanq12= 9 ，2