中学数学中发散思维能力的培养.doc

中学数学中的发散思维能力的培养郭文东（甘肃 环县 毛井初级中学 745718）摘要:通过对发散思维能力的探讨,从横向思维逆向思维多向思维等几方面,给出了发散思维意识精神能力培养的训练途径和方法.关键词: 发散思维 横向思维 逆向思维 多向思维 学习数学解决数学问题的过程,是一个思维活动的过程.在该过程中不仅涉及思维的形式方法,而且还涉及思维的内容,即数学的对象性质,以及数学的特点和它的思想方法等.因此,确切地说,学习数学解决数学问题时所运用的是数学思维.所谓数学思维,就是以数量关系和空间形式为思维对象,以数学的语言和符号为思维的载体,并以认识和发现数学规律为目的的一种思维.1无论数学智力,数学的精神、思想和方法,数学素养及数学素质,数学思维都是它们的构成要素,是它们不可缺少的重要成分.徐利治教授曾指出:“一般来说,数学上的新思想新观念和新方法往往来源于放散思维.所以按照现代心理学家的见解,数学家创造能力的大小应和他的思维能力成正比.而创造能力等于知识量和发散思维能力之积”.2新课标明确指出:“数学教学中,发散思维能力是培养能力的核心.”一 发散思维及其特征发散思维即求异思维,它从一点出发沿着多方向达到思维目标.用图表示,它就是从一点出发向知识网络空间发出的一束射线,使之与两个或多个知识点之间形成联系,它包含横向思维、逆向思维及多向思维. 发散思维具有多向性变通性流畅性独特性的特点,即思考问题时注重多思路多方案,解决问题时注重多途径多方式.它对同一个问题,从不同的方向不同的侧面不同的层次,横向拓展,逆向深入,采用探索转化变换迁移构造变形组合分解等手法,开启学生心扉,激发学生潜能,提高学生素质,这对造就创新性人才至关重要.二 发散思维能力的培养1、 横向思维是发散思维的有效形式横向思维又称侧向思维,它是从知识之间的横向相似联系出发,即从数学的不同分支:代数几何三角或分析等角度去考察对象,或者从不同学科知识,如物理生物等有关原理或规律出发去模拟仿造或分析问题的思维方式.横向思维利用了事物之间的相似性.它需要不同分支或不同学科知识与方法的开放性,以及解决问题的灵活性.3例 1 求 分析 用滚雪球发求余积.解 原式 .例 2 求分析 用裂项相消法求正弦和. 即将的分子乘以各项,将积化和即出现裂项,相消后再化积.解 原式 .2、 鼓励超常规逆向思维 逆向思维是相对于正向思维而言的,两者的区别主要在于思考问题的思路方向不同.正向思维思考问题,一般都是从正面的已知的条件出发,一步一步地探求结论.而逆向思维思考问题的思路方向则是相反的,是由目标至条件的定向思考的一种发散思维.在解决问题的过程中,它要求正面思路一旦受阻时能够迅速的转移到相反的思路上, 从而解决问题.它是思维灵活的一种表现.逆向思维是摆脱思维定势,突破旧思想框架,产生新思想,发现新知识的重要思维方式.3例3 已知在中, ,且和是方程的两根,若三角形的面积为,求这个三角形的三内角及三边. 分析 本题由韦达定理求出之值,再逆用面积公式,应用正弦定理求出之值. 解 设, 则 , . 依题意, 由韦达定理, 得 解得 , , , . 由 =, . 再由正弦定理, 得 , , .例4 已知 , . 求的值. 分析 由 , 得 , 反用倍角正弦公式使之化简 解 , . 又 , 故 , 于是得 , . 3、 激发展开多向思维多向思维是发散思维的典型形式.所谓多向思维,就是尽可能多的方向来考虑同一问题,使思维不局限于一种模式或一个方面,从而获得多种解答或多种结果的思维方式.多向思维在解决问题时有三种基本形式,即“一题多解”“一法多用”(或“多题一法”)以及“一题多变”.从思维方式的结构来看,“一题多解”是命题角度的集中-集中目标是证题或解题,解法角度的发散-发散对象是解题方法.“一法多用”是命题角度的发散,解法角度的集中.而“一题多变”则是命题角度和解法角度两个方面的同时发散.由此可见,“一题多变”的发散性更强.在数学学习中恰当地适时地加以运用,更容易诱发和培养创造性思维.3 例5 已知, 求证: .分析一: 用分析法.证法一: (1)当时,显然成立. (2)当时,欲证原不等式成立, 只需证 即证 即证 即证 因为 ,所以上式恒成立, 综合(1)(2)可知: 原不等式成立.分析二: 用换元法. 证法二: (1)当时,原不等式成立. (2)当时, 欲证原不等式成立, 只需证 即证 注意到 与 和 的结构特征很类同，不妨设 , 则 , 故 所以 . 例6 已知 ,. 求证: . 证法一: 采用分析法证明该问题. 证法二: 构造复数. 设 ,. 则 , ,. 因为 , 所以 . 证法三: 令 , , 则 . 因为 , 当且仅当 时取等号. 所以 . 4、 集中思维与发散思维的协调发展集中思维又称收敛思维,它是调动各种信息(已知的或回忆的),按照常规习惯寻求解决问题整理知识或总结方法的思维方式.它的特点是思路集中,所有信息都朝着一个目标深入发展以生成新信息.集中思维在思维方向上具有定向性层次性和聚合性(或收敛性),在思维内容上具有求同性和专注性.它是深刻地理解概念,正确地解决问题,完整地掌握知识系统的重要思维方式.3 培养集中思维能力和发散思维能力是相辅相成的,不可偏废的.集中思维的训练是培养发散思维的前提,没有集中就没有发散,发散是在集中的基础上进行的.只有通过“发散-集中-再发散-再集中”,这种思维形式的循环反复,才能使发散思维能力得到形成并向更高水平发展. 培养发散思维是一个循序渐进的过程,不能急于求成.发散思维的形成既要有适当的问题情境做基础,又要有强烈的求异精神做推动,而这一切都需要有完整的知识结构做后盾,以丰富的联想做翅膀.发散思维的训练是一个长期的,潜移默化的过程.只有在平时的学习中以点带面,循序渐进,求深求广.多加训练才能有好的效果.发散思维能使人独辟蹊径,开创一个新天地;发散思维能使人浮想联翩,把似乎毫不相干的东西联系起来,产生一个开拓性的领域.