菱形知识点及同步练习.doc

学科：数学教学内容：菱形 学习目标 1掌握菱形的概念2理解菱形的性质及识别方法3能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点基础知识讲解1菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，是平行四边形，邻边相等，这两个条件缺一不可2菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形3菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法其它的识别方法有四条边都相等的四边形，也为菱形对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形4菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4SRt.设对角线长分别为a，b则菱形的面积=4（）=ab，即菱形的面积等于对角线乘积的一半5菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件例1判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形（2）中是指邻边相等而不是两边相等错解：（1）（） （2）（）正解：（2）（） （2）（）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误例2如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AEAF错误分析：本题证明错在BEDF，因为并未证明BCCD，推理不严格错证：菱形ABCD，ABCD，BD又E，F分别为BC，CD的中点，BEDFABEADF AEAF正证：菱形ABCD ABAD，BD，BC=CD又EF分别为BC，CD的中点 BEDF，ABEADF AEAF典型例题例l已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，D=EAF=AEF60.BAE18，求CEF的度数分析：要求CEF的度数，可先求AEB的度数，而要求AEB的度数则必须求B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由D60如连结AC得等边ABC与ACD，从而ABEACF，有AEAF，则AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形所BD60.因为BAE18，AEB+B+BAE180所以AEB+60+18180.即AEB=180-60-18102又AEF60，AEB+AEF+CEF180所以CEF180-60-10218解法二：连结AC 四边形ABCD为菱形，BD60，ABBCCDADABC和CDA为等边三角形 ABAC，BACDBAC60EAF60 BAE=CAF ABEACF AEAF又EAF60 EAF为等边三角形 AEF60AEC=B+BAE=AEF+CEF60+1860+CEF CEF18解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法例2已知：如图，ABC中，BAC90，ADBC于点D，BE平分ABC，交AD于点M，AN平分DAC，交BC于点N.求证：四边形AMNE是菱形分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是DAC的平分线，只要证AMAE，则AN垂直平分ME，若证ANME，则再由BE平分ABN易知BE也垂直平分AN，即AN与ME互相垂直平分，故有AMMNNEAE，即AMNE是菱形，此为证法一显然，在上述证法中，证得BE垂直平分AN后，可得AMMN，所以MNAMANNAE，所以MNAE，则AMNE是平行四边形，又AMMN所以AMNE是菱形证法一：因为BAC90，ADBC，所以BADC因为BE平分ABC，所以ABEEBC因为AMEBAD+ABEC+EBCAEM，所以AMAE，又因为AN平分DAC，所以AMMN，所以AMMNNEAE所以AMNE是菱形证法二：同上，若证AN垂直平分ME，再证BE垂直平分AN，则AMMN，所以MNA=MNA=NAE.所以MNAE所以AMNE是平行四边形，由AMMN得AMNE是菱形例3已知：如图菱形ABCD中，DEAB于点E，且OADE，边长AD8，求菱形ABCD的面积分析：由菱形的对角线互相垂直知OA是ABD的边BD上的高，又由DEAB，OADE，易知AODDEA从而知ABD是等边三角形，从而菱形ABCD面积可求解：在菱形ABCD中，因为ACBD，所以AOD是直角三角形，因为DEAB，所以AED是直角三角形在RtAOD和RtAED中，因为ADAD，DEOA，所以RtAODRtDEA所以ADODAE，因为ABCD为菱形，所以ADOABO，所以ABD是等边三角形因为AD8，DEAB，所以AEAD4，在RtAED中，DE=4.从而S菱形ABCDABDE84=32注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC，BD的长，按S菱形ABCD=ACBD来计算，但后者较繁复例4已知：如图，ABCD中，AD2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CDCEDF.求证：AEBF分析：注意ABCD中，AD2AB这一特殊条件，因此ABCD能分成两个菱形从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明证明：设AE交BC于点G，BF交AD于点H，连结GH.因为ABDF，所以F=ABH，FDH=BAH.又因为ABCDDF，所以ABHDFH.所以AHHD=AD=AB.所以BCAH，BG=AB则四边形ABGH是菱形，所以AEBF.例5如图所示，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由分析：由已知判断AOF和DOF是关于直线EF成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到OAFODF，再结合已知得到ODFOAE，从而判断DFAE，得到AEDF是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF是菱形。解：四边形AEDF是菱形，理由如下：因为，EF垂直平分AD，所以，AOF与DOF关于直线EF成轴对称所以ODFOAF，又因为AD平分BAC，即OAF=OAE所以ODFOAE所以AEDF同样的道理可得DEAF所以四边形AEDF是平行四边形，所以EO=OF，即AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分AEDF是菱形注意：用轴对称，平移和旋转的观点处理几何问题，往往会得到意想不到的效果例6如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD，四边形ABCD为菱形吗？为什么？分析：纸条的宽度即是图中线段AE，AF的长，而AE，AF又分别与BC，CD垂直因此，如果ABCD是平行四边形，则AE，AF即为它的高，再从面积入手不难推出ABCD是菱形解：四边形ABCD为菱形因为：由已知可得，ABCD，ADBC，所以，四边形ABCD是平行四边形，由纸条的宽度为1，知AEAF1，又因为ABCD的面积=BCAECDAF，所以BCCD，故平行四边形ABCD为菱形例7已知：如图所示，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE2BAE，求证：EBOA分析：要EBOA，证它们所在的三角形全等，即AODBEA证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB DAEAEBAB=AE,ABCAEB ABC=DAEDAE2BAE，BAEADB又ADBA AODBEA AOBE创新思维例1已知：如图所示，菱形ABCD，E是AB中点，DEAB，AB=a，求：（1）ABC的度数 （2）AC的长 （3）菱形ABCD的面积解（1）E为AB中点，ABCD为菱形EAEBABADDEAB 130，DAB60DAB为等边三角形 ABC120（2）OADEa，AC2OAa（3）SABCDACBD例2四边形四边长为a、b、c、d，且a4+b4+c4+d4=4abcd.试判定四边形的形状分析：由a4+b4+c4+d4=4abcd得a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2-4abcd+2c2d2=0.（a2-b2）2+（c2-d2）2+2(ab-cd)2=0.所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.所以ab，cd，ac解：此四边形为菱形例3如图：RtABC中，A90，B的平分线交AC于D，自A作AHBC于H，交BD于点E，自D点作DFBC于F，求证：四边形AEFD为菱形分析：由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等证明AED90-DBH，ADE90-ABD，又DBH=ABD，AEDADE又AEADABD=DBH，DAAB，DFBF ADDFAHBC，DFBC AEDFAEDF，四边形ADFE为平行四边形又ADDF 四边形ADFE为菱形例4已知一张矩形纸片ABCD，ABa，BCAB.如图所示，将纸片沿EF折叠，使顶点A与C重合（1）试证，四边形AECF是菱形（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a2，求此矩形的周长分析：由轴对称性，易知AFFC，AEEC又由ABCD为矩形，知AFOOEC，所以OECOFC，所以ECFC证明（1）由已知得AEF与EFC关于EF所在的直线对称：AFFC，AEEC，AFOCFO 又ABCD为矩形 AFOOECOECOFC ECFC 即四边形AECF为菱形解（2）由SEFC=a2，ABa得 EC2a在RtECB中，EBEB=a，所以BCBE+EC=+2a=(2+)a，所以周长为（6+2）a中考练兵1如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，A：ABC1：2，则对角线BD的长等 cm.解：四边形ABCD为菱形ABADDCBC205cm ADBCA+ABC180设Aa则ABC2a，a+2a180 a60，2a120ABD为等边三角形 BDAD5cm 故应填5cm.2已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为 cm.解：菱形的面积=ab 其中a12cm则b5cm 应填5cm3如图在菱形ABCD中，若ABC120，则BC：AC的值等于（ ）A:2 B:3C1:2D解：BD：ACD0：AO 设ODa，因为DAB60所以DA030，所以DA2a，所以OA=即BD：ACOD：OAa：=:3 故选B4已知，如图四边形ABCD为菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：AFD=CBE证明：四边形ABCD为菱形BCCD，CDAB，BCADCACBECDE CBE=CDECDE=AFD AFD=CBE5已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为 .解：由菱形的性质可知，边长=5应填5随堂演练一、填空题1菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 .2菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为 ， ， ， .3菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4已知在菱形ABCD中，E，F是BC，CD上的点，且AEEFAFAB，则B= .5已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是 .6已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 .7已知菱形ABCD中AEBC，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么EAF的度数为 .8顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为 形二、选择题1能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A对角线相等且互相平分B对角线相等且对角相等C对角线互相垂直D两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2菱形ABCD，若A:B2：1，CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（ ）A相等B互相垂直且不平分C互相平分且不垂直D垂直且平分3已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（ ）A96cm2B94cm2C92cm2D90cm24菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（ ）A60B90C120D1505菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等D对边平行且相等6下列说法正确的是（ ）A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直平分的四边形是菱形D邻边相等的四边形为菱形7矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A对角相等且互补B对角线互相平分C一组对边平行，另一组对边相等D对角线互相垂直8菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个三、解答题1如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BFDE，求证：DHHF.2如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EFAC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分3已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离4已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DEBA交BA延长线于点E，若BD2DE，AB4，求菱形的面积。5如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE是菱形6已知：如图，四边形ABCD中，ACBD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形参考答案一、填空题113，52 2100,80,100,80 3 480510cm 点拨：两邻有为60，120，边长为10，两边和较短的对角线组成等边三角形6.40cm 760 8矩形二、选择题1D 2D点拨：ACD是等边三角形 3A 4D 点拨：画出图形即可求解 5B 6C 7A 8A三、解答题1证明：如图(1)1所示，连结FD，在菱形ABCD中,AC平分BCD CDCBDCFBCFFCFC DCFBCF（SAS）FDCCBF DF=BFBFDE DFDE DFE=EAEBC E=CBF DFE=FDC