从开普勒的三大定律到牛顿的万有引力定律及其应用.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除从开普勒的三大定律到牛顿的万有引力定律及其应用机15 010645 谢贤仕学习理论力学，不是为了学术而学术，就好像赚着了钱一定要把它花出去一样，才能保持生产与消费的平衡，才能享受创造与享受的快乐，才真正有利于社会的发展，才真正有利于个人的健康，至少是精神上的健康。所以本文着重写的是力学在天文学上的应用，是在人类文明发展史上有过极其重要的作用，甚至现在，也是天文学上认识宇宙，发现规律的基本出发点。 -前记开普勒的三大定律德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。第一定律(轨道定律)：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点上。第二定律(面积定律)：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是扫过相等的面积。第三定律(周期定律)：每个行星的椭圆轨道是半长轴的立方跟公转周期行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时，公式中的a即为圆半径。开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定的实验基础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。万有引力定律的推导地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为m，公转周期为T，轨道半径为r，由牛顿第二定律可得此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离平方成反比，与该行星的质量成正比，式中的m，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太阳性质有关的常量。进一步研究发现，卫星绕行星的运动也遵从同样的规律，这时，(3)式中的m为卫星的质量，r是卫星的轨道半径，m则是仅由该行星决定的常量。这说明，太阳对行星(如地球)的作用力与行星对卫星(如地球对月球)的作用力属同一性质的力。牛顿设想地球作用于地面上物体的重力也是这一性质的力。他巧妙地把地面上的重力推广到月球轨道上。月球绕地球的运动可以似看成匀速圆周运动，设月球运转周期为T月，月地距离为R，则月球的向心加速度为若重力也遵从平方反比规律，则月球轨道处的重力加速度g月与地面重力加速度g的比值为牛顿时代人们已测知R月60R。地球半径R06370公里，T2.36106秒。将这些数据代入(4)、(5)两式，可得a月g月2.710-3m/s2这说明，地球对地面物体及月球的作用力均遵从平方反比规律，牛顿设想，地球对太阳的作用力也应如此，即式中，M为太阳质量，m是仅由地球决定的常量。比较(3)、(6)两式，并运用牛顿第三定律，可知(8)式说明该比值是一个与地球及太阳质量均无关的常量，设该比值为G，则有m=GM。将m=GM代入(3)式，可得由于太阳对行星、行星对卫星、地球对地面物体的作用力都遵从(9)式所表达的规律，牛顿将它做了合理推广，即任何两个物体间都存在相互作用的吸引力，力的方向沿两物体的联线方向，力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的平方成反比，其数学表达式仍如(9)式所示。天体密度的测定应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即例如某登月密封舱在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球运行，运行周期为120.5分钟，月球半径为1740km，应用万有引力公式算出月球质量为月球平均密度为如果不易测知天体半径，也可用人造飞行器沿该天体的表面匀速率绕密度为天体质量的测定地球及其它天体的质量很大，牛顿发现的万有引力定律为计算天体质量提供了可能性。假定某天体的质量为M，有一质量为m的行星(或卫星)绕该天体做圆周运动，圆周半径为r，运行周期为T，由于万有引力就是该星体做圆周运动的向心力，故有例如：测知月球到地球平均距离为r=3.84108m，月球绕地球转动周期T=27.3日=2.36106秒，万有引力常量G=6.6710-11牛米2kg2，将数据代入上式可求得地球质量约为5.981024kg。由于地球表面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算近地点和远地点人造地球卫星的轨道多数不是圆而是椭圆，地球的球心位于椭圆的一个焦点上，如图所示，当卫星位于图中P点时，距离地球表面最近，此位置称为近地点，长轴上的另一项点Q则为远地点。由开普勒定律可知卫星位于近地点时速率最大，位于远地点时速率最小，由于近地点和远地点处曲率半径相同，所以由上面两式比得vP：vQ=LOQ：LOP此式说明同一颗卫星在近地点和远地点速率之比等于它们与地球中心距离的倒数。近地点速率大，远地点速率小。在此，不要误认为lOP、lOQ是卫星在近地点和远地点的曲率半径。人造地球卫星远在牛顿时代，人们就从平抛物体的初速度越大，抛出距离越远的现象推想，如果没有空气阻力，初速度超过某一值时，物体就不会落到地面上，它将绕地球旋转而成为人造地球卫星。设某物体以速度V沿地球表面绕地球中心做圆周运动，它做匀速圆周运动的半径是地球半径R0，促使它做圆周运动的向心力即为万有引力且近似等于重力，故有这说明沿地球表面飞行的物体若要不落回地面，必须每秒钟飞行8km。在牛顿时代，使物体达到这样大的速度还不可能，直到1957年，原苏联利用多级火箭发射成功了人类第一颗人造地球卫星。卫星不可能恰好沿地球表面飞行，设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v。知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小，例如我国1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星距地面平均高度约为1412km，所以卫星飞行的平均速