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一元多项式的最大公因式的几种求法苏昌怀（ 陇东学院数学系 甘肃 庆阳 745000）论文提要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。本文从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的斜消变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。关键词: 最大公因式; 辗转相除; 初等变换; 斜消变换1.辗转相除法 辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理和一般实例可以参见高等代数。按照高等代数中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算。为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也这是由于若= +于oCp,我们有+,及故另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任去一个作除式，另一个作为被除式。并且为了减小多项式的系数，也可被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变的结果，由此，辗转相除法得到了进一步的简化。例1：设4 +3x3-x2-4x-3,=3x3+10x2+2x-3,求,。-3乘以-X+23x3+10x2+2x-3,3x3+15x2+27x+27x4 +3x3-x2-4x-3,3x4 +9x3-3x2-12x-9 3x4 +10x3-2x2-3x,乘以3x 乘以-5x2-25x-30X2+5x+6X2+3x-x3-5x2+9x-9-x3-5x2-6x2x+6 2x+6-3x-90 X+3从而，设, 求:乘以1 x 0 从而,2矩阵的初等变换法 我们知道，在多项式空间与向量空间 可以建立同构映射： 此外还有如下结论：（1）（2）（3）（4）（5）设a00，。由以上知识可以得到一下结论：若用A= 表示多项式 = ，与= 的待求最大公因式，则对A实行初等行变换，不改变两个多项式的最大公因式；当0时， ，即它们表示的两个多项式的待求最大公因式相等。运用这个结论可以利用矩阵的初等变换求多项式的最大公因式，特别是求多个多项式的最大公因式时优势更明显。例3：设=，求解:A=所以 ， 3矩阵的斜消变换法矩阵的斜消变换分为左斜消变换和右斜消变换。设A=为mn阶矩阵，若A的第i行从左向右第一个不为零的元素为第j 行的第一列元素不为零（ij），则称将第i行的N-S个元素乘以数C斜加到第j 行元素上的变换为第i行到第j行的左斜消变换，记为L ；若A 的第i行从右夏管左第一个元素不为零的元素为1=s=n，第j行的第N列元素A 不为零（ij），则称第i行的S个元素乘以数C斜加到第j行元素：a上的变换为第i行到第j行的右斜消变换，记为 我们约定，用左斜消变换化简矩阵时，若所得到的矩阵的前若干列元素全为零时，要及时消去这些列再做变换；用右斜消变换化简矩阵时，若所得的矩阵的或若干列元素全为零是，要及时消去这些列在2做变换。这样可以达到简化矩阵的目的。根据基于矩阵斜消变换的最大公因式求解一文，我们有以下结论：设 为m个多项式（至少有一个常数项 不为零），A为与多项式F（X）（i=1，2.m）献对应的矩阵，则对A施行矩阵的第一，第二种初等行变换以及左斜消变换不改变与其对应的这组多项式的最大公因式，并且总可以将矩阵A化为如下形式的矩阵：C=此时 例4：用矩阵的斜消变换求例3中的 的最大公因式 。解：A= 所以参考文献：【1】 北京大学数学系几何与代数教研室，高等代数M，北京：高等教育出版社，2003：1315页【2】