数学式子变形辛.doc

集合与逻辑1.1集合集合与逻辑是数学大厦的基础,本章主要介绍集合的概念与运算,复合命题的基本形式,量词等简易逻辑知识.如果要问最基本的数学概念是什么，多数人会回答：数.但是集合却具有更基本、更简单的性质.当我们要计数时，首先要知道计算对象的全体范围，所以，在数学乃至日常生活中，集合的概念是简单而自然的.但是集合自身成为数学研究对象，却是19世纪以后的事.德国数学家康托（G.Cantor, 18451918）在研究三角级数的唯一性点集时,自然而然地碰到实数“集合”的子集问题，这引导他去考虑点集论乃至一般的集合论，最终把高度抽象的集合词汇引入数学字典. 由于集合的语言简洁明了，所以，时至今日，集合不仅构成现代数学的基础，而且成为人们建立数学理论、传递数学思想的基本数学语言.甚至在中学数学课程中，集合也成为中学生必须掌握的基本概念.1.1集合的概念把日常生活中极其熟悉的“汇总”、“组”、“全体”、“类”等具体、直观的概念抽象化，便形成数学中的集合概念.我们无法给出集合的明确定义，只能给予说明和解释.康托是这样描述的：“集合是指人们直观或思维中完全确定的、完全不同的事物所合成的一个整体（这些事物称为集合的元素）.”如果是集合A的元素，则称属于A，记为A；如果不是集合A的元素，则称不属于A，记为 A.根据康托的描述，任给一集合A，对于一事物，它或者是A中的元素，或者不是A中的元素，即“A”与“ A”，两者必居其一且仅居其一，没有第三种可能.这就是集合概念的基本特征确定性与可区分性.由于集合具有确定性，所以，组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况.例如，“甲班所有女生”可以组成一个集合；而“甲班跳舞能手的全体”不能称为集合，因为“跳舞能手”是个模糊概念.类似地，“较大的数”、“所有美丽的图形”都不能构成集合.集合的确定性说明，集合是由它的元素所唯一确定的，由此可给出两个集合相等的定义：两个集合相等，当且仅当它们具有相同的元素.例如，由于方程268的解集与介于1，5之间的偶数集合S都由数2，4组成，所以这两个集合相等，记为S.1.2集合的表示法1.列举法如果可能的话，表示集合的最简单的方法是列举出它的所有元素.例如，S是由数-1，0，2，7组成的集合，则记为S=-1，0，2，7.如果T=，则说明集合T的元素是，且仅有这些元素运用列举法表示集合必须注意下面两点：（1）元素的无序性.即所列举的元素的次序是无关紧要的，集合-1，0，2，7也可以表示为2，0，7，-1（2）元素的互异性.即所列举的元素应互不相同.集合4，3，2，1，3，4就是集合1，2，3，4，构成英文单词usually的字母集合是u,s,a,l,y，而不是u,s,u,a,l,l,y.上述两点说明集合是无序的、不计较汇集方式的一类事物的全体的数字模型. 列举法只适用于元素个数较少的有限集.用列举法表示无穷集合时，容易产生不确定的现象.例如，集合S3，5，7，11，13，既可以认为是奇质数的集合，也可以看成是非完全平方数的奇数集合，甚至可以认为是由数3，5，7，11，13以及三个点组成的有限集合.那么，15属于S吗？无法回答.有人认为，集合1，3，5，7，9，花括号内写出了前5个奇数，当然表示正奇数的集合，持这种观点的人把集合与序列混淆起来了.由集合的无序性可知1，3，5，7，9，也可写成5，3，7，9，1，如果写成后者，你会认为它是正奇数集合吗？对于无穷集合的表示，必须谨慎，最好采用下面的表示方法. 2. 描述法 用确定的条件表示某种事物是否属于这个集合的方法，叫做描述法.例如，所有质数构成的集合可表示为|是质数，方程2560的解集可形式地记为|25+6=0，其中“是质数”、“25+6=0”是集合中元素必须满足的条件.一般地，如果用表示变元所具有的某种性质，那么，由具有性质的所有元素组成的集合，可表示为|.必须注意，毫无限制地运用元素应该满足的条件来确定集合，有时也会引起混乱，甚至会导致矛盾.比如，如果令P=|，即P由所有不属于自身的元素组成的集合，那么，P属于P吗？答案是，无论PP或P P都导致矛盾.这就是引起第三次数学危机的导火线罗素悖论.除了上述两种表示法之外，为了能直观形象地反映出集合与元集、集合与集合的关系，可用圆、矩形或封闭曲线表示一个集合，区域内部的点表示此集合的元素.如图1-1所示，A=，b，c，B=b，c，e，f.这种形象直观的表示集合的图形叫做维恩（Venn）（或译为文氏）图或欧拉（Eular）图.1.3全集、空集考虑集合M=|4-1=0,在复数范围内，M=1，-1，-i，i;在实数范围内，M=-1，1.可见，在研究集合时，必须首先明确范围. 在实数R范围内考虑集合|2+1=0，显然，任一实数都不是它的元素，这种不含任何元素的集合，称为空集，用符号/表示.虽然空集不是一个实在的集合，但它具有集合的确定性，即对任何元素都有 /；其次，它具有类似于数零在数系中的作用，既可使集合的运算简化又使表述简洁.例如，在实数R范围内方程b=0的解集为1.4集与集的关系，子集和幂集给定两集合A、B，如果集合A中每一元素都是集合B的元素，那么，称集合A为集合B的子集，这时也称A被B包含或者B包含A，记为AB或BA.如果AB，但AB，则称A是B的真子集，记为AB或BA.由两个集合相等的定义可得到一个简单而有用的结论：假定A、B是集合，那么A=B当且仅当AB且BA.因此，证明两个集合A、B相等的常用方法是证明A、B互相包含，即（1）任取A，证得B，即有AB；（2）任取B，证得A，即有BA.例1求证：抛物线y2=4各组相互垂直的切线的交点的轨迹为抛物线的准线= -1.证明设A、B分别为准线=-1上点集和y2=4各组相互垂直的切线的交点集合，设法证明A=B.设PB，则P为y2=4的任两垂直切线的交点，这两条切线的切点为（t12，2t1）、（t2 22tt ，2t2），则切线方程分别是t1y=+t21，t2y=+t22.可求得P点的横坐标=t1t2，由于t1t2=-1，所以PA，即BA.设点Q（-1，m）是集合A内任一点，由不复杂的计算可得，当k0时，过Q点的直线y=k（+1）+m与抛物线相切的充要条件是存在实数k满足方程k2+mk-1=0.由于m2+40，所以方程有两个相异实根k1，k2，且 k1k2=-1，于是过Q点的分别以k1、k2为斜率的两切线垂直，即QB，从而AB.综合上述证明知，A=B.易证集合的包含关系有如下重要性质：（1） AA；（2） 若AB，BC，则AC.我们规定：空集是任意集合的子集.这一规定是合理的.事实上，若A是B的子集，则A中任一元素都属于B，也即A中不存在不属于B的元素.空集/是没有元素的集合，所以在空集中不存在不属于任意集合A的元素，即空集是任意集合的子集，/A.由集合相等的判别方法可以证明空集是唯一存在的.必须注意，“”与“”是集合论中具有不同意义的符号，分别表示“属于”、“包含”两种关系.它们的主要区别有：（1）“”反映元素与集合的关系，“”反映集合与集合之间的关系.例如，若A是少先队各小队的集合，a是其中一个小队，则aA是正确的，而aA不正确.如果小红是a小队的少先队员，那么小红a，或者小红a都正确（这时小红是一个集合）.同样地，/；0，10，1，1，但0，10，1，1.（2）“”是不加定义的，而“”是由“”定义出来的；（3）“”具有传递性，即，若AB，BC，则AC，而“”一般不具有传递性.例如，虽然10，1，0，10，0，1，但10，0，1.设I为全集，常常用指出集合I中的某些元素所具有的性质的方法，从集I中把子集A分出来，用符号表示为A=|I且.例如，在整数集中，质数的全体构成整数集Z的子集B，B=|Z，是质数.设有集合A，由A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为P（A），即P（A）=S|SA.1.5集合的运算1.交集 有两个集合A、B，把同时属于A和B的所有元素所组成的集合叫做A和B的交集，记作AB.A、B集合的交集也可表述为AB=|A且AB例如，令A=n|n是2的倍数，nZ，B=n|n是3的倍数，nZ，则AB=n|n是6的倍数，nZ.可以证明，集合的交运算具有一系列性质：（1）AB=BA（交换律）；（2）（AB）C=A（BC）；（结合律）（3）AB当且仅当AB=A；（4）AA=A（等幂律）；（5）A/=/，AI=A.2. 并集由属于A或属于B的一切元素组成的集合，称为集A和集B的并集，记为AB，并集可表述为AB=|A或B.按照此定义，在两个集A和B的并集中，可以包含属于A但不属于B的元素，也可包含属于B但不属于A的元素，以及同时属于集A和集B的元素.例如，P是矩形集合，Q是菱形集合，它们的并PQ就是矩形、菱形、正方形的集合.同样可以证明，集合的并运算具有下列性质：（1）AB=BA（交换律）；（2）（AB）C=A（BC）（结合律）；（3）AB当且仅当AB=B；（4）AA=A（等幂律）；（5）A/=A；AI=I. 对两个集合A、B，可以进行，的运算，这同数的求积、求和运算类似.集合的交、并运算除了具有上述性质而外，还满足分配律：（6） A（BC）=（AB）（AC），A（AC）=（AB）（AC）.将第一式中的与互换便得第二式，第二式中的与互换便得第一式.我们把具有这种关系的两个关系的两个等式叫做相互对偶.在集合论中，成对偶的等式很多.例如，下列相互对偶的等式也成立，叫做吸收律.（7） A（AB）=A， A（AB）=A.可应用分配律和等幂律证明吸收律成立，请读者自行完成.例2 令A（n）表示n的所有质因数的集合，即A（n）=a|a是质数且a整除n.试证关于A（n）有下列结论成立：（1）若q整除n，则A（q）A（n）；（2）若q、r分别是m、n的公因数和公倍数,则A（q）A（m）A（n），A（m）A（n）A（r）；（3）若q是m、n的最大公因数，则A（q）=A（m）A（n）；（4）若r是m、n的最小公倍数，则A（r）=A（m）A（n）.证明（1）、（2）显然，下面证明（3）、（4）成立.设质数pA（m）A（n），则p整除m，p整数n，从而p整除它们的最大公因数q，于是pA（q）.所以，A（m）A（n）A（q），再由（2）的结论知，（3）成立.要证明（4）成立，需利用质数的一个性质：如果质数p整除ab，则p整除a或整除b.设r是m、n的最小公倍数，且质数pA（r），则r=ms,r=nt，s、t互质.倘若p不整除m，由p整除ms知，p整除s.由于s、t互质，p不整除t，但p整除nt，所以p整除n，即pA（m）A（n），A（r）A（m）A（n），由（2）的结论知（4）成立 .3.补集差集假定B是A的子集，在A内但不属于集B的所有元素的集合，称为B在A内的补集（或余集），记为CAB.如果A是全集I，则B在全集I中的补集记为CIB.例如，如果I是三角形的集合，B是等边三角形的集合，那么CIB就是非等边三角形的集合 , 如果全集I是复数集，R是实数集，则CIB是所有非实数的集合.即：CIR=x+yi|x，yR，y0设A、B是全集I中的子集，则关于集合的补集，有下列等式成立：（1）CI/=I，CII=/；（2）CI（CIA）=A；（3）若AB，则CIBCIA；（4）CI（AB）=CIACIB，（AB）=CIACIB.证明从略.等式（4）就是关于集合的德摩根（D.Morgan）定律. 一个集中包含着属于A但不属于B的元素，这样的集叫做两个集A和B的差，用符号AB表示，即AB=x|xA，且xB（图13）显然，AB=ACIB.当A、B为任意集合时，可把AB划分成三个集合：AB，BA，AB.也就是说，这三个集合的并集为AB，它们之间任两个的交集都是空集，如图14所示：1.6笛卡儿积如前所述，集合中的元素具有无序性，对于含有两个元素的集合而言，a，b=b，a.但在日常生活或数学研究中，许多事物成对出现，并具有一定的顺序.例如，父子、师生、年月、左右等等，把这种现象抽象出来便得到序偶的概念.一般地，两个具有固定次序的事物x、y组成的序列叫做序偶（或序对），记为（x，y）显然，在一般情况下，（x，y）（y，x）. 例如，构成数35的数字3，5是一个序偶（3，5）.分数的分子、分母也组成一个序偶，为了代替写法，可以记作（2，7）.在解析几何中，点的位置常用一对有序实数（x，y）表示.当然，在坐标平面上，（3，2）与（2，3）是不同的两个点. 在序偶概念的基础上，我们引入笛卡儿积.集合A、B的笛卡儿积AB是全体序偶（a，b）的集合，其中aA，bB.笛卡儿积可以表述为AB=（a，b）|aA，bB若A=B，则AA习惯记为A2.例2若A=苹果，桔子，香蕉，B=刀，叉，则笛卡儿积AB=（苹果，刀），（桔子，刀），（香蕉，刀），（苹果，叉）（桔子，叉），（香蕉，叉）.例3在平面上建立直角坐标系以后，平面就可以看成是实数集R的笛卡儿积RR=R2.如果A、B分别是x轴、y轴上的两个闭区间，那么AB就是一个矩形区域（见图1-5）.在三维空间中，如果 S=x，y|x，yR，x2+y2=1是个单位圆，I=z|zR，1z2是个区间，那么SI就是一个圆柱面（见图1-6）.z笛卡儿积是个集合，它的运算具有下列性质：（1）A（BC）=（AB）（AC）；（2）A（BC）=（AB）（AC）；（3）A/=/；（4）（AB）（CD）=（AC）（BD）.性质（1）、（2）说明“”对“”“”是可分配的，性质（3）可看成B、C不相交时的性质（2）的特殊情况.必须注意，类似于性质（4）的集合并的情形并不成立，即（AB）（CD）（AC）（BD），实际上有（AB）（CD）（AC）（BD） 图1-7读者可自行给出上述性质的证明.两个集合的笛卡儿积容易推广到多因子的情况.如果A1，A2，An是非空集合，则A1A2An=（a1，a2，an）|aiAi，i=1，2，n.如果A1=A2=An，则常把它们的积记为An.例如，倘若用实数序组（x，y，z）表示三维空间的点相对于坐标系的位置，那么，三维空间点集可记为 R3=（x，y，z）|x，y，zR. 2集合与中学数学除了在高中阶段系统地介绍一些集合的基础知识外，集合与中学数学的关系主要体现于集合思想的渗透和集合语言的使用，而不是在集合概念基础上阐述、研究全部中学数学.这是因为过分抽象的研究超出了中学生的接受水平.2.1中学数学中的有关集合 中学里所研究的数学对象很自然地汇集成各种各样的集合：数集、点集、图形的集合、多项式集合、方程的集合、随机样本空间中的集合等等，其中数集与点集最为常见.中小学数学中的数集是随着数集的扩充而逐渐形成的，非负有理数集Q+是小学数学研究的全集.偶数集、奇数集，一个自然数的倍数集合和它的所有约数的集合，质数集与合数集等等，是Q+的一些具有特殊性质的子集.在中学，有理数集Q首先扩充为实数集R，然后扩充到复数集C，并研究各种数集中的某些子集，这些子集的元素常常由有限个条件所确定，例如不等式x5的非负整数解的集合可表述为x|xz，0x5，函数y=的定义域为集合x|xR，|x|2，且x1，且x2.所以，在数集中确定某集合的元素，常常涉及到求解方程或方程组、不等式或不等式组.此外，必须注意，随着数集的扩充，研究多项式、方程所在的数的范围（即全集）也发生相应的变化，例如，整式概念的理解，多项式的因式分解，方程的解集都与所在的数集有关. 运用集合语言刻画几何图形常常表现为三种形式，一种形式是把某个几何图形看成单一的整体，以此类图形所具有的特征性质作为区分条件，形成各类几何图形的集合.比如，三角形的集合，直角三角形的集合，平行四边形的集合，正方形的集合等等.这种形式在初中平面几何中较为常见，图18可以形象直观地表示各类图形的从属关系. 图 1-8另一种形式是把几何图形看成是空间具有某种性质的点的集合，轨迹的概念与此观点相吻合，平面上线段AB的垂直平分线就是点集P| |AP|=|BP|（|AP|表示A、P两点间的距离），以O为圆心，r为半径的圆盘区域可表示为M | |OM|r.在平面或空间建立直角坐标系以后，几何图形可以用图形上点的坐标所满足的方程（方程组）或不等式（不等式组）作为特征性质构成的点集来表示.例如，半平面为点集（x，y）|ax+by+c0，a2+b20，双曲线为点集（x，y| =1），点集（x，y，z）|x+y+z=1且x+2z=0表示空间一直线，而点集（x，y，z）|x2+y2=1，且0z3则是一个圆柱面.这种运用集合语言表达几何图形的方法在解析几何中是很普遍的.它在几何与代数中间架起桥梁，一方面利用代数方程或不等式给出几何图形，反过来，也可以给代数命题以适当的几何解释.值得注意的是，我国目前所使用的立体几何教材，虽然说明了空间图形可以看成是点的集合，但并没有按照此观点来展开整个立体几何的内容.虽然使用了“”、“”符号，并作了若干规定：点A在直线a上，让为Aa；点A在平面a内，让为Aa；直线a在平面内，让为a；直线a与b相交于点A，记为ab=A.但符号“”“”的作用与平行“”、垂直“”等符号类似，仅用来表示点、直线、平面之间的位置关系.2.2集合语言在中学数学中的应用1.概念与集合中学数学中许多概念的形成，要通过集合的交、并、补运算来进行.例如，有理数集Q=负有理数0正有理数；实数集=有理数无理数；虚数集=CR；正方形=菱形矩形，等等.从逻辑角度而言，我们常用的“属加种差”的概念定义方式，实质上是从属概念的外延集合A中区分出具有“种差”性质的子集B，于是B=x|xA且，其中是“种差性质”.例如，矩形=x|x有一直角并且x平行四边形.但是，有时候会出现这样的情形：用不同的特征性质去定义同一个概念，这时就需要证明两个性质的等价性.换句话说，即要证明满足这两个性质的元素所构成的集合相等.比如，在平行四边形范围中要证明矩形“有一直角”的性质等价于“具有相等的对角线”的性质，只须证明x|x有一直角且x平行四边形=x|x平行四边形且x的对角线相等.2.集合与方程、不等式方程和不等式的有关内容在中学代数中占较大比例，用集合语言来解释、描述方程（或不等式）的某些概念，既揭示本质又简单明了。例如：解方程（或方程组）、解不等式（或不等式组），与集合的运算有关，在解形如f1（x）f2（x）fn（x）=0的方程时，若记Mi为fi（x）=0的解集（1in），A为f1（x）f2（x）fn（x）的允许值集合，则原方程的解集T=A（M1M2Mn）若已知两个变量的方程f（x，y）=0、g（x，y）=0的解集分别是M1、M2,则方程组 的解集T=M1M2，在坐标平面上表现为两曲线f（x，y）=0，g（x，y）=0的交点的集合，如果方程中，F（x，y）=0、G（x，y）=0的解集M1、M2不等于M1、M2，但M1M2=M1M2，那么，这两个方程组同解.例如，方程组与同解，尽管方程xy6与x2+y213表示不同的曲线. 在实际解题时，为保持每个步骤之间的同解性，可通过集合之间的运算来进行，例 1 解不等式4.解x|4 x|x316且x3 x|x19x|x3 x|3x19.3.运用集合语言解决问题例2某数学竞赛只出了A、B、C三道题，有25个学生参加，每人至少能解出一道解.在没有解出A题的学生中，解出B题的学生人数是解出C题的人数的两倍；只能解出A题的人数比其余解出A题的人数多1；在只能解出一题的学生中，有一半不能解出A题.试求只能解出B题的学生数.解如图1-9所示. 设X、Y、Z分别为只解出A、B、C题的人数；V、U、W分别为只解出A、B，B、C，A、C两题的人数，T为同时解出三题的人数.由条件知， 图1-9所以，25=X+Y+Z+W+V+T+U=X+X+X-1+U 即 3X+U=26.因为X=Y+Z，Y=2Z+U，所以9Z+4U=26，9Z26，Z2.当Z=1时，4U=17不可能.当Z=2时，U=2，Y=6，X=8，代入原题合乎题意，所以，只解出B题的学生有6人.例3 一个船夫（F）要把一只狼（W）、一头羊（G）和一篮白菜（C）从河的左岸运到右岸，由于船小，除船夫外，每次只能运一样东西.当然，狼和羊、羊和白菜不能在无人监视的情况下放在一起，问船夫怎样才能达到目的. 解设全集为F，W，G，C，列举出所有的子集，每一个子集表示左岸可能出现的情况，排除掉不可能出现的情况：W，G，C，F，W，G，F，C，G，C，F，W.把余下的十种情况列举出来，对于任意两种情况，如果经过一次渡河就可以相互转变的话，就在这两种情况之间加上箭头，分析各种情况之间的联系，并作出所有可能的箭头，便得到图1-10，用A表示左岸初始状态F，W，G，C，B表示左岸终止状态，那么只要在图中找出一条从A到B的通道，就给出一个合乎题意的渡河方法，图1-10中箭头所示的粗黑线便给出了这样一条通道.3命题及其演算任何学科都要运用逻辑为工具，数学也不例外，但由于数学具有高度的抽象性，所以数学对逻辑的要求与其它学科有所不同.无论是问题解决，还是建立理论体系，都不能依赖于有限次的观察，或可重复的实验，而必须借助于严谨的逻辑推理和逻辑结构来实现.按照一定的逻辑体系组织起来的数学教材，处处渗透和体现出丰富的逻辑知识与思想方法，这对于培养学生的逻辑推理能力是大有裨益的，鉴于逻辑在日常思维活动中的广泛应用性以及发展学生逻辑推理能力的重要性，逻辑知识初步逐渐成为数学教学内容的一个组成部分.因此，作为数学教师，必须了解、掌握一定的逻辑知识，提高逻辑素养，而且这应成为一个基本的要求.3.1判断与命题 在思维过程中，抽象出来的概念并非零散地、杂乱无章地存在于头脑之中，而是以一定方式彼此联系着.判断是概念相互联系的形式.在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫做判断（judge）.例如，中国的首都是北京.苏格拉底是哲学家.人总是要死的.1既不是合数又不是素数.等，都是判断.判断作为一种思维形式，与表达它的语句有密切关系，判断必须用语句来表达，但并非所有的语句都是判断. 例如，“站起来！”“大于吗？”“他真伟大！”“我写的这句话是假的.”等语句并没有对思维对象有所断定，即或者肯定，或者否定，所以都不是判断.表达判断的语句叫做命题（statement）.在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句也叫数学命题.例如“6+7=1” “所有的素数不是偶数.” “27是9的倍数.” “有些三角形是直角三角形.”等，都是数学命题.对于含有变元的语句，如“x+37”、“数x与数y的和不等于零”等，不能称之为命题，因为无法判定其真假.例如，在语句“2x=3”中，含有可代替任何数的变元x.如果令x=1，则“21=3”就成为假命题；如果令x=，则“2=3”就是真命题.因此，在变元x没有被某一数取代之前，无法判断语句“2x=3”的真假性，所以，“2x=3”不是命题.综上所述，命题或真或假，没有第三种可能. 3.2简单命题与复合命题如前所述，所谓命题，就是具有真假值的语句.例如，“32”，“2+4=5”，“是无理数”，等等，都是命题，而且是不能再分解的命题，这样的命题叫做简单命题.但是，在数学上迄今所学许多定律与定理，一般由几个简单命题构成.例如：（1）不是有理数.（2）2是偶数，也是质数.（3）32.（4）若1=2，则3=4.等命题，若分别改成（1）并非“是有理数”.（2）“2是偶数”且“2是质数”.（3）“32”或者“3=2”.（4）如果“1=2”那么“3=4”.引号“”内的命题是简单命题.上述命题可认为是用“非”“且”、“或”、“若，则”等逻辑联结词，从简单命题构造而成的复合命题.下面讨论用逻辑联结词组成的复合命题的4种形式以及它们的真假定义. 为方便起见，我们用小写字母p、q、r，等表示命题.如果命题p是真命题，则称p的真值为真，记为p=1；如果命题p是假命题，则称p的真为假，记为p=0.在数理逻辑中,1、0分别表示真、假命题，所以也叫做命题常元.1.非命题定义1给定命题p，用联结词“非”构成的复合命题“非p”叫做命题p的否定式（或称为非命题），记为p.其真值定义如下： pp1001这表明：p真当且仅当p假.p与p称为互为矛盾的命题.必须注意，“非”在日常语言中，相当于“不”，“没有”，因此，要否定一个简单命题，必须把否定词“不”、“没有”等放在适当的位置上.例 1 p：我是个工人.p：并非“我是个工人”=我不是一个工人.p：2+2=4.p：2+24.p：我每天写大字.p：我并没有每天写大字.2. 联言命题 定义2给定两个命题p、q，用联结词“且”构成的复合命题“p且q”叫做p、q的合取式（或称做联言命题），记为pq.其真值定义如下：p qp q111100010000它表明，pq真当且仅当p、q均真.“pq”有时也读做“p和q”.例 2p：28是7的倍数.q：28是4的倍数.pq：28是7和4的倍数.由两个命题“39”、“912”组成的合取式“39且912”的真命题，通常把它简单地记作“3912”.因此，数的双重不等式是两个不等式的合取.3. 选言命题定义3给定两个命题p、q，用联结词“或”构成的复合命题“p或q”叫做p、q的析取式（或称为选言命题），记做“pq”，其真值定义如下：pqpq111101011000它表明，pq假当且仅当p、q皆假.必须说明的是，日常语言中的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的.例如，明天上午8点我去上课或者到图书馆,这是不可兼的,或所连结的两部分相互排斥.但在A=B,或A+B=180中，“或”所连结的两部份并不相互排斥，这里“或”是可兼的. 由真值表可知，命题演算中的“或”具有可兼性.即当p、q同时真时，pq也真.由命题“32”和“3=2”构成析取式“32或3=2”.因为“32”真，所以析取式“32或3=2”真，通常记为“32”.这表明，不严格的数的不等式是严格不等式和等式的析取.了解这一点，对于不等式或极值等有关问题的理解尤为重要.4.假言命题定义4给定两个命题p、q，用联结词“若则”构成的复合命题“若p则q”叫做p、q的蕴涵式（或称假言命题），记为“pq”.其中p称为前件，q称为后件，蕴涵式的真值定义如下：pqpq111100011001这表明，pq假当且仅当p真q假.假言命题往往反映了客观事物之间的联系和规律，数学中的大量定理都具有假言命题的形式.“pq”可以用多种语言形式表达.例如: 如果p，那么q.由p可推出q.因为p，所以q.p是q的充分条件.q是p的必要条件，等等.在蕴涵式的真值定义中，前两行与日常生活经验相符，容易被接受.但是“前件假，后件真，则蕴涵式真”的规定却与人们的直觉相悖，不易被人理解.我们通过一个例子说明其定义的合理性.例 3 小红的爸爸对小红作了一个许诺：如果小红数学得满分（p）；那么他替她买一条连衣裙（q），于是，就有四种可能发生.（1）小红数学得满分，爸爸买了一条连衣裙（p真q真）.（2）小红数学得满分，但爸爸没有买连衣裙（p真q假）.（3）小红数学没有得满分，爸爸仍然买了条连衣裙（p假q真）.（4）小红数学没有得满分，爸爸没有买连衣裙（p假q假）.毫无疑问，情况（1）说明爸爸遵守了诺言，所以，“pq”真，在（3）、（4）情况下，由于小红没有得5分，所以不管爸爸有没有买连衣裙，都不能说爸爸违背了诺言，“pq”仍然真.只有情况（2）说明爸爸没有信守诺言，“pq”假.实际上，“pq”是真命题意味着两点：前件p假，则后件q可能真也可能假；倘若前件p真，则后件一定真.蕴含式的真值定义进一步说明，在命题演算中,不关注命题的内容和意义.例如，从逻辑意义理解，命题“如果太阳从西边出，则2+35”是真命题，尽管条件与结论间没有任何必然的联系.3.3命题演算复合命题的4种基本形式，分别用4个逻辑联结词由命题p或q组成.在这基础上，可以进一步运用真值联结词构成新的更复杂的命题.例如，pq；（pq）p；p（pq）；在一个复杂的复合命题中，为减少使用括号的次数，可按联结词的强弱顺序、省去部分括号.例如，公式（pq）（pq）可简写为pqpq.任何一个复合命题都有相应的真值，其真值可以通过真值表加以计算.例 4求出下列公式的值：（1）（pq）pq;（2）(ppq)解公式的真值表如下: 我们清楚地看到，不论命题变元p、q取什么值，（1）的真值表最后一栏杆的真值均为1.一般地，如果不论命题变元取什么值，公式的真值总为1，那么叫做重言式（或永真公式、恒真命题），此时，记为=1.如果不论命题变元取什么值，公式的真值总为0,那么,叫做永假公式(或恒假命题)，记作=0.如命题（2）.易知，=1当且仅当=0.读者不难验证，pp, pp, （pp）是重言式，而且pp是永假公式.重言式pp, pp, （pp）分别表示了三个逻辑基本定律.同一律 在同一思维过程中，对于同一对象的每一思想（概念或判断）都必须保持其同一性和确定性，用公式表示为pp.矛盾律 在同一思维过程中，一个命题不能既真又假，或者说，两个相互矛盾的命题不能同时为真，用公式表示为（pp）.例如，“是有理数”与“不是有理数”是两个矛盾命题，它们不可能都是真命题.排中律 在同一思维过程中，一个命题或者真或者假，两者必居其一，或者说，两个相互矛盾的命题一真一假、一假一真，用公式表示为pp.例如，如果命题“直线外至少存在一点”为真,则排中律知,它的矛盾命题所有点都在某直线上为假.我们在进行推理和证明时，必须遵守逻辑思维的三大基本规律.2.4等价命题定义6设两个公式、，如果不论对它们的全部命题变元如何赋值，、的真值完全相同，那么，、逻辑等价，此时，称、为互为等价的命题，记为=.容易证明，命题的等价关系具有反身性、对称性、传递性. 互为等价的两个命题,它们在推理时可以相互代替,下面介绍一些基本的等价命题(利用真值表不难验证其正确性)。 （1）（交换律）pq=qp，pq=qp.（2）（结合律）（pq）r=p（qr），（pq）r=p（qr）. （3）（分配律）p（qr）=pqpr，pqr=（pq）（pr）.（4）（双重否定律）p=p.（5）（德摩根律）（pq）= pq，（pq）= pq.（6）pq= pq，（pq）=pq.例 5 写出下列命题的否定式（1）28能被4整除，又能被7整除；（2）10或者-10；（3）若63，则107.解（1）令p表示命题“28被4整除”，q表示命题“28被7整除”.那么原命题为“pq”，其否定为（pq）= pq.这表示28不能被4整除或者28不能被7整除.（2）原命题改写为(10)(-10)，其否定为(10(-10)=（10）（-10）.即10并且-10.（3）令p表示命题“63”,q表示命题“107，原命题是蕴含式“pq”，其否定为（pq）pq.即63，但是107。例 6 求证：（1）pqr（pr）（qr）；（2）p（qr）=（pq）（pr）.证明：（1）pqr= （pq）r= pqr=（pr）（qr）=（pr）（qr）（2）p（qr）= p（qr）=（pq）（pr）=（pq）（pr）注也可以用真值表证明两个命题等价.逻辑等价命题可以相互替代,这给数学证明带来方便。在数学论证中,如果直接证明原命题有困难，则想法证明原命题的等价命题，有时会收到事半功倍之效。常见的等价命题转换有以下几种：（1）pq= qp.欲证“pq”成立， 想法证明qp”成立.例7证明：若x3+y3=2，则x+y2.分析直接证明原命题有困难，从而改证原命题的等价命题：若x+y2，则x3+y32.证明若x+y2，则x2y.于是x3+y3（2y）3+y3=8-12y+6y2=2+6（1-y）22.所以，原命题成立. “qp”叫做“pq”的逆否命题，这种证法常称为逆否命题法，或换质换位法.（2）p= pcc，pq=pqcc（c为任一命题）.欲证原命题p成立，改正pcc.即以原命题的否定p为前提条件，推得一对矛盾命题c，c.如果原命题是蕴涵式pq，则改证pqcc.即在原条件p与否定结论q的共同前提下，推得一对矛盾命题c、c.这种证法就是反证法.例 8 证明：如果a2能被2整除，则a能被2整除.分析待证命题是蕴涵式命题：若a2被2整除，则a被2整除.运用反证法，改证命题：若a2被2整除，且a不能被2整除，则推出矛盾.证明假设a不能被2整除，则a=2n+1，n是整数.a2=4n2+4n+1=4n（n+1）+1，因为a2能被2整除，所以，1=a2-4n（n+1）.右端能被2整除，与1不能被2整除（c）矛盾，所以，原命题得证.必须说明两点：其一，在运用反证法证明“pqcc”的过程中，c是任一命题，它可以是p、q，也可以是已知公理、定理、定义乃至于推证过程中任一假设.其二，反证法与换质换位法是两种不同的论证方法.换质换位法只能运用于待证命题是蕴涵式命题的情况，并且，推证目标明确从否定结论p出发，以证得条件（或部分条件）的否定p为归宿，在整个论证过程中没有产生矛盾命题（见例8、例9），而反证法可适用于具有任意命题形式的待证命题（见例10），其应用范围大大广于换质换位法.并且，反证法的论证目标是寻找矛盾命题，至于能推出什么性质的矛盾命题，很难事先估计到，正因为反证法的推理过程无明确目标，只要是由正确的推理导致矛盾就行，所以，反证法比其它证法有较大的自由度，在直接证明原命题有困难时，运用反证法常能独辟蹊径，一举成功.（3）pq= pq= qp.这等价命题表明，如果待证结论是析取式pq，那么证明蕴涵式pq（或qp）即可.例 9 当n、a是正整数时，证明或者是正整数，或者是无理数.分析令p、q分别表示命题“是正整数”、“是无理数”.欲证pq成立，改证qp成立.证明若不是无理数，则（s、tN，s，t互素），a=.因为a是正整数，又是既约分数，所以，s=1，a=tn,=t，t是正整数，是正整数.证毕.4开语句与量词我们知道，复合命题可以根据逻辑连结词把它分解为简单命题.简单命题虽然不再含有逻辑联系结词，但我们可以进一步分析它的逻辑结构. 先看一类具有主语和谓语的逻辑形式的简单命题：（1）2是素数；（2）32；（3）32+42=52命题（1）表示个体2具有性质“是素数”，命（2）表述了个体3和2之间具有关系“”，而命题（3）说明个体3，4，5之间具有前两数平方和等于第三数的平方的关系.因此,上述命题或者断定某个体具有某种性质、或者断定某些个体之间具有某种关系.如果在上述命题中把个体全部或部分地换为变元，则得到x是素数，xy，5y，x2+y2=z2，32+x2=52等，这些含有变元的语句不能辨别其真假，所以都不是命题，称这样的语句为开语句.如果以P、Q、R等表示“性质”或关系，x、y、z等表示个体变元，则x具有性质P可表示为P（x），x、y之间具有关系R可表示为R（x、y）.对于每一个开语句，必须指明变元取值的集合，这个集合称为体域或论域，记为U，当变元被论域中任一元素替换后，便得到可判定真假的命题.例如，设P（x）表示“x是素数”，论域是自然数集，则P（2）是真命题，P（4）是假命题.如果R（x，y）表示xy，论域是NN，则R（5，6）是假命题，R（10，9）是真命题.4.1开语句与真值集定义1 设P（x）是含有一个变元的开语句,在论域U中使P（x）成为真命题的x的值的集合叫做P（x）的真值集，记为x|P（x）.例如，设P（x）表示“x是8的约数”，论域是自然数N，则P（x）的真值集x|P（x）=1，2，4，8.设Q（x）表示“x3-1=0”，如果论域是实数集R，则Q（x）的真值集为1，如果论域是复数集C，则Q（x）的真值集就是1，.由此可见在某一论域中，给定一个开语句，总有一真值集与之对应；当论域改变时，同一个开语句的真值集也可能改变.4.2开语句的复合如同命题一样，我们也可以运用逻辑联结词组成复合开语句.例如，在实数集R上，x是质偶数，x2+y25，x3或x-1，若xy，则x+yy+z等都是复合开语句，复合开语句的真值集可由基本开语句的真值集的相应集合运算得到.1. 设P（x）是U上的开语句，那么，U上的开语句“不是P（x）”叫做P（x）的否定,记为（P（x），如果A是P（x）的真值集，则（P（x）的真值集是A在U中的补集CuA.例如，在集15，19，21，33上讨论开语句P(x):x是3的倍数,则P（x）的真值集是15，21，33，P（x）的真值集是19，26.2. 设P（x）、Q（x）是U上两个开语句，它们的真值集分别为A1、A2，则它们的合取式P（x）Q（x）的真值集为A1A2，即xU|P（x）Q（x）=xU|P（x）xU|Q（x）；它们的析取式P（x）Q（x）的真值集为A1A2，即xU|P（x）Q（x）xU|P（x）xU|Q（