第十七章量子力学简介解答和分析.doc

习题十七171 计算电子经过和的电压加速后，它的德布罗意波长和分别是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。解：电子经电压U加速后，其动能为，因此电子的速度为：根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为：若，则nm；若，则nm。172 子弹质量m=40 g, 速率,试问: (1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少? (2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来?分析 本题考察德布罗意波长的计算。 解：(1)子弹的动量与子弹相联系的德布罗意波长(2) 由于子弹的物质波波长的数量级为, 比原子核的大小(约)还小得多,因此不能通过衍射效应显示出来.173 电子和光子各具有波长0.2nm，它们的动量和总能量各是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为：电子的总能量为：而光子的总能量为：174 试求下列两种情况下，电子速度的不确定量：（1）电视显像管中电子的加速电压为9kV，电子枪枪口直径取0.10mm；（2）原子中的电子，原子的线度为m。分析 本题考察的是海森堡不确定关系。解：（1）由不确定关系可得：依题意此时的，因此有：电子经过9kV电压加速后，速度约为。由于，说明电视显像管内电子的波动性是可以忽略的。（2）同理，此时的，因此有：此时和有相同的数量级，说明原子内电子的波动性是十分显著的。175 有一宽度为a的一维无限深方势阱，试用不确定关系估算其中质量为m的粒子的零点能量。并由此计算在直径m的核内质子的最小动能。分析 本题考察的是海森堡不确定关系。根据位置坐标的变化范围来确定速度变化的范围，从而得到动能的最小值。解：由不确定关系，可得：所以一维方势阱内粒子的零点能量为：由上述公式，可得核内质子的最小动能为：176 如果一个电子处于原子某状态的时间为s，试问该能态能量的最小不确定量为多少？设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定所辐射光子的波长及该波长的最小不确定量。分析 本题考察的是海森堡能量和时间的不确定关系。解：根据能量和时间的不确定关系，有：辐射光子的波长为：由上式可得波长的最小不确定量为：177 氦氖激光器发出波长为632.8nm的光，谱线宽度，求这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量。分析 本题考察的是海森堡不确定关系。解：根据德布罗意关系，等式两边同时取微分并只取其绝对值，此时有：根据不确定关系，可得：178 一个细胞的线宽为m，其中一粒子质量为g，按一维无限深方势阱计算，这个粒子当和时的能级和它们的差各是多大？分析 本题的考察是一维无限深方势阱中的能级分布问题。根据该势阱中的能级分布公式可求出不同能级之间的能量差。解：对于一维无限深方势阱中的粒子而言，其能量为：因此对于n100能级，其能量为：类似的对于n101能级，其能量为：两个能级之间的差为：179 一粒子被禁闭在长度为a的一维箱中运动,其定态为驻波. 试根据德布罗意关系式和驻波条件证明: 该粒子定态动能是量子化的, 求出量子化能级和最小动能公式(不考虑相对论效应).分析 本题考察德布罗意波长和定态的概念.解 粒子在长度为a的一维箱中运动,形成驻波条件为 即 由德布罗意关系式在非相对论条件下, 粒子动能和动量关系为 可见粒子的动能是量子化的, 时动能最小,顺便指出,这些公式与严格求解量子力学方程所得结果完全相同.1710 若一个电子的动能等于它的静能,试求该电子的德布罗意波长.分析 本题考察相对论能量和动量的关系及德布罗意关系.解： 由题意知,电子, 由相对论能量和动量关系可知1711 设在一维无限深势阱中，运动粒子的状态用描述，求粒子能量的可能值及相应的几率。分析 本题考察的是波函数的态叠加原理。解：一维无限深势阱的本证波函数为：相应的能量本征值为：将状态波函数用本征波函数展开得：因此，根据态叠加原理，状态处于n1，3本征态上的几率均为1/2，测得的能量可能值分别为，。1712 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为若粒子处于n1的状态，在区间发现粒子的概率是多少？分析 本题考察的是粒子的概率密度的计算问题。对于给定的波函数，其模的平方即为该粒子在空间出现的概率密度。解：对于n1的状态的粒子，其波函数为：因此该粒子在区间发现粒子的概率为：1713 原子内电子的量子态由四个量子数来表征，当一定时，不同的量子态数目是多少？一定时，不同的量子态数目是多少？当一定时，不同的量子态数目是多少？分析 本题考察的是各个量子数之间的对应关系。解：由于量子态由四个量子数表征，因此量子态的数目由这四个量子数的取值范围所决定。当一定时，自旋磁量子数，因此量子态数目为2；一定时，磁量子数可取（）个值，而自旋磁量子数，因此此时的量子态数目为2（）；当一定时，轨道量子数可取n个值，磁量子数可取（）个值，而自旋磁量子数，因此此时的量子态数目为：1714 试写出n=4, l=3壳层所属各态的量子数。分析 本题考察的是各个量子数之间的对应关系。解： 当n=4, l=3时,磁量子数可能值为,共7个值. 自旋量子数的可能值为.1715 写出以下各电子态的角动量的大小：（1）1s态，（2）2p态，（3）3d态，（4）4f态。分析 本题考察的是角动量的大小与轨道量子数之间的关系。解：角动量的大小为：因此，将1s、2p、3d、4f等电子态的轨道量子数代入上式即可求出该量子