泰勒公式及其应用--开题报告.doc

浙江师范大学本科毕业设计(论文)开题报告学院专业学生姓名学号指导教师职称合作导师职称论文题目泰勒公式及其应用一、选题背景和意义在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版了增量法及其逆一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的。一百多年后，柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位。泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。在高等数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，是高等数学中的重要部分。泰勒公式对于解决数学问题有着重要作用，比如利用泰勒公式求极限问题，解决界的估计问题，判定级数敛散性方面的问题,证明定积分的问题，证明不等式的问题和计算行列式的问题；在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数在某点的高阶导数值等方面等方面都可以运用泰勒公式。这些都充分说明了泰勒公式在数学领域中的重要性。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。泰勒公式是数学分析这门课的最基础最重要的内容，作为一种研究将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数的有效工具，是必须要牢固掌握的，是我们学习数学分析的必备知识。由此可见，泰勒公式在我们数学学习中有着十分重要的地位，研究泰勒公式及其应用也将对我们学习高等数学带来巨大的益处。二、国内外研究现状、发展动态泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果，如：河南科技学院数学系宋林森教授的研究性学习在泰勒公式教学中的运用探究一文指出在泰勒公式的教学中，以问题为载体，引导学生进行探究式和验证性研究性学习不但能激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握公式，而且学生自己通过探究发现从而解决问题，对于学生创造性思维的培养也具有一定的积极意义。四川大学数学学院陈丽教授在关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会一文中把当下最流行的明星模仿秀的概念引用到函数上来，把函数比喻成明星然后用其他的简单函数来模仿明星函数，通过认识其他简单函数来认识明星函数，将深奥难懂的数学知识与时代流行结合起来，这样学生对与函数的理解就深刻多了，对泰勒公式的应用也就轻松了。湖南科技学院数学系的唐仁献在文章泰勒公式的新证明及其推广中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式；洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、陶容、张永胜在所著的文章泰勒公式在计算及证明中的应用中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题，于此类似的研究成果还有湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的定积分不等式的几种典型证法和潍坊高等专科学校的陈晓萌所著的泰勒公式在不等式中的应用等等。在2002年2012年十年为时间范围，以“泰勒公式”和“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章。在这些文献中作者在不等式或者等式的证明或者计算时都充分利用了泰勒公式的定理和性质，但方法新颖又恰到好处，值得借鉴和学习。泰勒公式的应用是非常广泛的，对于泰勒公式的研究还在进行中，我相信通过今后的不断努力研究，泰勒公式还能发挥出更多的作用。T. M. Apostol（美）在Mathematical Analysis（Second Edition）（机械工业出版社）中就讲述了有关于泰勒公式的证明以及一些应用，很好的体现了泰勒公式在数学领域中的价值。V. A. Zorich在Mathematical Analysis 中更是完美的展现了泰勒公式的研究价值。三、研究的内容及可行性分析（一）、研究内容：1、泰勒公式及其证明方法2、泰勒公式在求极限问题上的应用3、泰勒公式在证明不等式上的应用4、泰勒公式在判定敛散性上的应用5、泰勒公式在近似计算上的应用6、泰勒公式在行列式计算上的应用（二）、可行性分析：大学期间，学习了泰勒公式及其证明方法的一些基础知识，对本课题的研究有一定的知识基础。通过本课题的研究能很好的提高自己的数学分析能力，加深自己对泰勒公式的理解与认识。我的论文指导老师马美杰副教授对数学分析课程有专业认识和自己独特的理解；且在论文指导上有着丰富的经验。可以向马老师请教有关于泰勒公式及其应用的相关问题。浙师大图文信息中心有着丰富的关于数学分析的馆藏资料，网上有大量关于数学分析的文献数据，还有许多学者做过相关的研究，可以方便地查阅相关资料。便于解决本文的相关问题。四、论文拟解决的关键问题及难点（一）、关键问题1、泰勒公式的形式2、泰勒公式的在各个方面应用（二）、难点1、泰勒公式的在各个方面应用五、研究方法与技术路线综合各方面因素，我制定了以下的研究方法：1、 文献研究法通过搜索相关文献了解泰勒公式的研究现状，分析、归纳、总结泰勒公式的证明方法以及应用等等，得出泰勒公式在数学研究中的重要作用。2、定性分析法对通过各种渠道获取的相关性材料进行综合整理，分析、归纳、总结以达到去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，达到认识问题本质、揭示内在规律的目的。3、文本解读法通过阅读数学分析教材中的泰勒公式及其证明方法，仔细体会泰勒公式在研究其他数学知识发挥的重要作用。4、合作讨论法通过向马美杰指导老师请教的过程中，学习泰勒公式的证明方法以及应用的内涵，深刻认识到泰勒公式的重要性。与同学讨论泰勒公式的相关证明，合作得到一些以前未发现的新知识，达到融会贯通的目的。六、论文的进度安排第一阶段：2012年10月19日11月8日。联系指导老师，询问相关选题，并确定相关选题。第二阶段：2012年11月9日12月23日。在指导老师的指导下认真阅读本科毕业论文规程，查找资料，确定选题，并做好开题报告的填写，准备开题报告的答辩工作。12月23号开题报告。第三阶段：2013年1月2日1月8日，根据审定的开题报告确定的写作提纲和思路，进行论文写作，形成初稿。并准备中期检查。第四阶段：2013年1月9日3月初，提交毕业论文电子稿和纸质稿各一份交给指导老师审查，便于老师及时提出修改意见。第五阶段：2013年3月初至4月初，修改论文，将毕业论文的修订稿交与指导老师审查，并最终确定论文的内容，并根据论文规范写作。最后提交论文，做论文答辩。第六阶段：2013年4月6日4月21日，论文答辩阶段，整理相关材料，做好毕业论文答辩准备工作。七、主要参考文献1刘云,王阳,崔春红. 浅谈泰勒公式的应用J.和田师范专科学校学报，2008，（2）：196-197.2邓晓燕,陈文霞.泰勒公式的推广及其应用J.高等函授学报(自然科学版),2012,(1):61-63.3张云艳.Taylor公式的应用补遗J.洛阳师范学院学报,2007,(5):175-176.4潘劲松.泰勒公式的证明及应用J.廊坊师范学院学报(自然科学版)，2010，（2）:16-21.5张云艳.Taylor公式及其应用J.毕节师范高等专科学校学报，2003，（12）：56-59.6余家骅.泰勒公式的证明及其应用推广J.科技风,2008,(2):51-52,54.7潘红,储亚伟.关于泰勒(Taylor)公式的几点应用J.科技资讯，2008,（18）：247.8安世全.泰勒公式及其应用J.高等数学研究,2001,(9):26-28.9李莎,王瑜.泰勒公式及其应用J.科学之友,2012,(6):136-137. 10费德霖.泰勒公式的应用及技巧J.皖西学院学报,2001,(12):84-86.11齐成辉.泰勒公式的应用J.陕西师范大学学报（自然科学版），2003，（4）：23-25,146.12 华东师范大学数学系.数学分析（第三版），上册M.北京:高等教育出版社，2001：134-141.13于祥芬,李莹.泰勒公式的几点应用J.科教文汇(上旬刊),2011(2):88,107.14 Vladimir A.Zorich.Mathematical Ana