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2012年压轴题分析 25.如图1,抛物线yax2bx3经过A(3,0),B(1,0)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M,直线y2x9与y轴交于点C,与直线OM交于点D现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2,将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q(0,3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使PEF的内心在y轴上.若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.BAMOCDxy第25题图1FEQOxy第25题图2 25.解：（1）抛物线yax2bx3经过A(3,0),B(1,0)两点,解得抛物线的解析式为yx24x3.（2）由（1）配方得y(x2)21,抛物线的顶点M(2,1).直线OD的解析式为yx.于是设平移的抛物线的顶点坐标为(h,h),平移的抛物线解析式为y(xh)2h.当抛物线经过点C时,C(0,9),h2h9,解得h.当h时,平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.当抛物线与直线CD只有一个公共点时,由方程组得x2(2h2)xh2h90,(2h2)24(h2h9)0,解得h4.此时抛物线y(x4)22与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意.综上:平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时,顶点横坐标的值或取值范围是h4或h.（3）方法1将抛物线平移.当顶点至原点时,其解析式为yx2,设EF的解析式为ykx3(k0).假设存在满足题设条件的点P(0,t).如图,过P作GHx轴,分别过E、F作GH的垂线,垂足为G,H.第25（3）题图FEQOxyGHPPEF的内心在y轴上,GEPEPQQPFHFP,GEPHFP,.2k(t3)().由得x2kx30.k,3.2k(3)(t3)k,k0,t3.y轴的负半轴上存在点P(0,3),使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为ykx3(k0),点E,F的坐标分别为(m,m2),(n,n2)由方法1知:mn3.作点E关于y轴的对称点R(m,m2),作直线FR交y轴于点P.由对称轴知EPQFPQ,点P就是所求的点.由F,R的坐标,可得直线FR的解析式为y(nm)xmn.当x0,ymn3,P(0,3).y轴的负半轴上存在点P(0,3),使PEF的内心在y轴上. 25(7分)如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段)已知A(1，0)，B(1，0)，AEBF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上(1)求两条射线AE、BF所在直线的距离；(2)当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数yxb的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；EADFOBxy(3)已知AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围 25解： 分别连结、，则点在直线上，如图1. 点在以为直径的半圆上， .在中，由勾股定理得.两条射线、所在直线的距离为. 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，的取值是或； 假设存在满足题意的，根据点的位置，分以下四种情况讨论： 当点在射线上时，如图2. 四点按顺时针方向排列， 直线必在直线的上方. 两点都在上，且不与点重合. . 且 . .当点在（不包括点）上时，如图3. 四点按顺针方向排列， 直线必在直线的下方. 此时，不存在满足题意的平行四边形.当点在上时， 设的中点为则当点在（不包括点）上时，如图4过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点连结并延长交直线于点为的中点，可证为的中点四边形为满足题意的平行四边形 2）当点在上时，如图5 直线必在直线的下方 此时，不存在满足题意的平行四边形当点的射线（不包括点）上时，如图6直线必在直线的下方此时，不存在满足题意的平行四边形综上，点的横坐标的取值范围是或 25如图，C=90，点A、B在C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止当点P与B、C两点不重合时，作PDBC交AB于D，作DEAC于EF为射线CB上一点，且CEF=ABC设点P的运动时间为x（秒）（1）用含有x的代数式表示CF的长（2分）（2）求点F与点B重合时x的值（2分）（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）求y与x之间的函数关系式（3分）（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形请直接写出所有符合上述条件的x值（3分） 25解：（1）由题意知，DBPABC，四边形PDEC为矩形，CE=PD (2分)（2）由题意知，CEFCBA，当点F与点B重合时，9x=20解得 (4分)（3）当点F与点P重合时，4x9x=20解得当时，如图，当x时，如图，= (或) （7分）（4） （10分）提示：如图，当时，解得为拼成的三角形如图，当点F与点P重合时，解得为拼成的三角形如图，当时，解得为拼成的三角形 26如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 25、解：（1）过点B作BCy轴于点C，A(0,2)，AOB为等边三角形，AB=OB=2，BAO=60，BC=，OC=AC=1，即B（）（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，PAQ=OAB=60，PAO=QAB，在APO和AQB中，AP=AQ，PAO=QAB，AO=ABAPOAQB总成立，ABQ=AOP=90总成立，当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90。（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行。 当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ，四边形AOQB即是梯形，当ABOQ时，BQO=90，BOQ=ABO=60。又OB=OA=2，可求得BQ=，由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。当点P在x轴正半轴上时，点Q在嗲牛B的上方，此时，若AQOB，四边形AOQB即是梯形，当AQOB时，ABQ=90，QAB=ABO=60。又AB= 2，可求得BQ=，由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。综上，P的坐标为（）或（）。 25（满分14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同 时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S=PQ2(cm2)试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标. （第25题） 25 （满分14分）解: (1)据题意知: A(0, 2), B(2, 2) ，D（4，）, 则 解得 抛物线的解析式为: -4分 (2) 由图象知: PB=22t, BQ= t, S=PQ2=PB2+BQ2=(22t)2 + t2 , 即 S=5t28t+4 (0t1) -6分假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.S=5t28t+4 (0t1), 当S=时, 5t28t+4=,得 20t232t+11=0, 解得 t = ，t = （不合题意，舍去）-7分此时点 P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，）若R点存在，分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, 则，R的横坐标为3, R的纵坐标为 即R (3, )，代入, 左右两边相等，这时存在R(3, )满足题意. 【B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则：R的横坐标为1, 纵坐标为即(1, ) 代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. 【C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则：R(1，)代入, 左右不相等, R不在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(3, )满足题意. -11分（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，）-14分 22如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由. 22 解：（1）A、B在抛物线上， 当，当。 即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。 设直线AB的函数关系式为， 得方程组： ，解之，得 。 直线AB的解析式为。 （2）依题意有P、M、N 的坐标分别为 P（t，0），M（t，），N（t，） （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有 ，解得， 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。 当t=1时，故。 又在RtMPC中，故MN=MC， 此时四边形BCMN为菱形。 当t=2时，故。 又在RtMPC中，故MNMC。 此时四边形BCMN不是菱形。考点 点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。分析（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。 （2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式。 25如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.OxAMNBPC题25图 25、略解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2） （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得， 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.当t=1时，故,又在RtMPC中，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形当t=2时，故,又在RtMPC中，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形. 25（14分）如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=450，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上。（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将DCE绕点C逆时针旋转（00900）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。ABCDEMONAACM1E1D1N1第25题图O 解 259090=180连接BD、AE、ON，BCDACE，ON=BD，OM=AE，BDAE，OHOM成立。证明过程一致。 25. （本题满分12分）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，（1）写出点M5的坐标；（4分）（图12）（2）求的周长；（4分）（3）我们规定：把点（0,1,2,3）的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来（4分） 25解：（1）M5（4，4）4分（2）由规律可知，,，6分 的周长是8分（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,，即：点的“绝对坐标”为（）。9分 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,，即：点的“绝对坐标”为。10分 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,，即：的“绝对坐标”为。12分解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情