北师大版选修221.1 归纳与类比.docx

学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.体会归纳推理与类比推理的思维过程，增强实践与创新能力.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫作前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫作结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为所以”“根据可知”“如果那么”“若则”.知识点二归纳推理与类比推理定义特征一般模式思维过程归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理s1具有性质ps2具有性质psn具有性质p(s1，s2，sn是a类事物对象)所以a类事物具有性质p实验观察概括推广猜测一般性结论类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理a类事物具有性质a，b，c，db类事物具有性质a，b，c(a，b，c与a，b，c相似或相同)所以b类事物可能具有性质d观察、比较联想、类比猜测新的结论思考归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.知识点三合情推理1.合情推理的含义：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.2.合情推理的过程思考由合情推理得到的结论可靠吗？答案一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一归纳推理的应用例1已知数列an的第1项a12，且an1(n1,2，)，试归纳出这个数列的通项公式.解a12，an1(n1,2，)，a1，a2，a3，a4.由此发现分母依次为1,3,5,7，分子都是2.归纳猜想得an(nn).反思与感悟求数列an的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a1，a2，a3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1已知数列，(nn)的前n项的和为sn.(1)求出s1，s2，s3，s4；(2)猜想该数列的前n项和sn并证明.解(1)s1，s2，s3，s4.(2)猜想sn(nn).证明如下：，sn(nn).题型二类比推理的应用例2在矩形abcd中，对角线ac与两邻边ab，bc所成的角分别为，则cos2cos21.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解如图(1)，在矩形abcd中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21.证明如下：如图(2)，cos2cos2cos22221.反思与感悟类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径r_.答案解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径r.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)n2n41，nn，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n40验证猜想是否正确.解f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，归纳猜想：当nn时，f(n)n2n41的值都为质数.验证：当n40时，f(40)402404140(401)414141.f(40)是合数，由上面归纳推理得到的猜想不正确.1.已知2，3，4，.若 6(a，br), 则()a.a5，b24 b.a6，b24c.a6，b35 d.a5，b35答案c解析观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为该数的平方减1.2.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a，b是非零实数，且满足tan ，则等于()a.4 b. c.2 d.答案d解析将已知式变形，则有tan ，类比正切的和角公式，即tan()，可知只有当tan 时，上式成立.3.已知x(0，)，观察下列不等式：x2，x3，类比有xn1(nn)，则a_.答案nn解析由类比推理可得x(n1)n1，此时ann.4.在平面几何中有如下结论：若正三角形abc的内切圆面积为s1，外接圆面积为s2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体abcd的内切球体积为v1，外接球体积为v2，则_.答案5.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a13，an12an1；(2)a1a，an1；(3)对一切的nn，an0，且2an1.解(1)由已知可得a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想an2n11，nn.(2)由已知可得a1a，a2，a3，a4.猜想an(nn).(3)2an1，2a11，即2a11，a11.又2a21，2a21，a2a230.对一切的nn，an0，a23.同理可求得a35，a47，猜想出an2n1(nn).1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).一、选择题1.已知a13，a26，且an2an1an，则a33为()a.3 b.3 c.6 d.6答案a解析a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73, 周期t6，a33a33.2.已知x表示不超过实数x的最大整数，观察下列等式：3，10，21，按照此规律可知，第n(nn)个等式的等号右边是()a.2n2n b.2n2nc.(n1)2n2 d.2n1答案a解析313,1025,2137，故第n个等式的等号右边为n(2n1)2n2n.3.数列5,9,17,33，x，中的x等于()a.47 b.65c.63 d.128答案b解析5221,9231,17241,33251，归纳可得：x26165.4.根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111a.1 111 110 b.1 111 111c.1 111 112 d.1 111 113答案b解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.5.设0b0)与x轴交于a、b两点，点p是椭圆c上异于a、b的任意一点，直线pa、pb分别与y轴交于点m、n，求证：为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于a、b两点，点p是双曲线c上异于a、b的任意一点，直线pa、pb分别