10.10空间几何体的表面积与体积.doc

10.11空间几何体的表面积与体积【知识网络】 1、球的表面积和体积； 2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为 （ ）A B C D答案：B；解析：取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C的距离为h，则 。（2）半径为R的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ）A、2R2 B、4R2 C、2R2 D、4R2答案：B。解析：。（3）平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都成60角，则该平行六面体的体积为A B C D 答案：C。解析：。（4）已知直平行六面体的各条棱长均为3，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为_ _。答案： 。解析：P点的轨迹是以D为球心、半径为1的六分之一球，。 （5）已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积为 。答案：。解析：，即，。例2：过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。（1）若APB=2，求弦长关于的函数表达式；（2）求三棱锥PABC体积的最大值。答案：解：（1）由题知PABC为正三棱锥，作其高PO，则O为正ABC的中心,球心O在PO上，设PO=h,PA=a，设则，在中，令，令=0，当，V有最大值，当正三棱锥的高时，体积最大。例3：一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。答案：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：。例4：如图在三棱柱ABC-中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=的等腰三角形，且，面与面ABC成，与交于点E。（1）求证：；（2）求异面直线AC与的距离；（3）求三棱锥的体积。答案：证：取AC中点D，连ED，/又是底角等于的等腰， 解：由知是异面直线AC与的距离，为连【课内练习】1球与它的内接正方体的表面积之比是 （ ）A B C D答案：C。解析：。2如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是 （ ）A、 B、 C、 D、 答案：D。解析：。3一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 （ ）A、 B、 C、 D、答案：D。解析：当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得14两球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为 答案： 4:9 。解析：。5有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为_.答案为：。解析：。6. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_(填”大于、小于或等于”).答案：小于。解析：V球=V正，S球=，S正=，S球S正。 7已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.答案：解:设圆台的母线长为,则圆台的上底面面积为 圆台的上底面面积为 所以圆台的底面面积为 又圆台的侧面积，于是，即为所求. 8如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。答案：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。（2）正四棱柱的底面边长为2a，高为a，其体积。又正四棱锥的底面边长为2a，高为，其体积。，即，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）9如图，直三棱柱的底面为RtABC，ACB=90，AB=4，ABC=15，将两侧面C1CAA1与C1CBB1铺平在一个平面内，得矩形ABB1A1.此时AC1BC1，求棱柱的侧面积. 答案：解：在RtABC中,AC=4sin15,BC=4cos1510如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值；（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2），求V1V2的值.答案：（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.E为A1B的中点，EFB1B.又C1MB1B，EFMC1.四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）解：作B1HA1N于H，连结BH.BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1为二面角BA1NB1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N，EMA1N.又EMFC1，A1NFC1.又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F.设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a.在RtA1D1N中，A1N= a，sinA1ND1=.在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1=2a= a.在RtBB1H中，tanBHB1=.（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM，PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1，几何体MNC1BA1B1为棱台.S=2aa=a2，S=aa= a2，棱台MNC1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=2a（a2+a2）= a3，V2=2a2aaa3= a3.=.【作业本】A组1在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：A。解析：。2三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、，则此三棱锥的外接球面积为 （ ）A、6B、12C、18D、24 答案：A。解析：。3一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 （ ）A、 B、 C、 D、（ ）答案：B。解析：。4三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积 。答案：表面积，体积。解析：5球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45角，则这个平面截球的截面面积为 。答案：。解析：所以截面面积。6已知正四面体ABCD的表面积为，其四个面的中心分别为、设四面体EFGH的表面积为，则等于 。答案： 。解析：四面体EFGH的任何一个面是对应面的面积的。7经过正三棱柱底面一边AB作与底面成30角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm2，求截面截得的三棱锥DABC的体积.答案：S底面=SABDcos30，设底面边长为x，则有.取AB中点E，在RtDEC中，DEC=30，故8. 如图，四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BECE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BECE时，二面角EBCA正切值的大小.PBCAD答案：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BECE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM平面PAD，作MEPD交PD于点E，连结OE，则OEPD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为ODOC，OPOAOB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OEOC（设OC=OB=R）即可。由于DEMDAP，可求得ME= ， 所以OE2=9+ 令OE2R2，即9+ R2 ，解之得R2；所以AD=2R4，所以AD的取值范围 4，+，当且仅当AD= 4时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角EBCA的平面角正切值为。B组1三棱台ABC-A1B1C1中，AB：A1B1=1：2则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为 （ ） A、1：1：1 B、1：1：2 C、1：2：4 D、1：4：4答案：B。解析：由棱台、棱锥公式可求得。2一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：R=5，所以。3如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是 。A、258 B、234 C、222 D、210答案：B。解析：注意重叠交叉的部分。4已知正三棱柱底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_。答案：。解析：注意截面是一个等腰梯形。5若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_答案：18。解析：截面为锥体的中截面。6斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。解析：过点B作BMAA1于M，连结CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA为公用边，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，S侧=(1+)ab7 在平行四边形ABCD中，AD=a，AB=2a，ADC=60，M、N分别是AB、CD的中点，以MN为折痕把平行四边形折成三棱柱AMBDNC的两个侧面，求三棱柱体积的最大值.答案：解：在平行四边形ABCD中，连结AC，由已知，AD=a,CD=2a,ADC=60ADAC,MNAC，设ACMN=E，故折成三棱柱AMBDNC后，AEC是二面角AMNC的平面角，AEC是这个三棱柱的直截面.由题可得,8三棱柱中，AB=AC=a，BAC=90，顶点在底面ABC上