《高等数学下》期中试题参考答案.doc

高等数学下期中试题参考答案 嘉善光彪学院 专业本科 2005 年级2006.4一填空题 (每小题3分，共21分)1 = = = .2 dx = dx +dx = 2dx +0=2(1-)dx=2-2arctanx|=2-p/2 3 = = arctan(x+1)| =p/2 (-p/2) = p 4空间曲线 在XOY平面上的投影为 5设z = ln(x+lny) , 则 - = - = 0 6交换 dy f(x,y)dx 积分次序得 dx f(x,y)dx 7设f(x)是连续函数，且 f (t)dt =x ，则 f (7) = 。 两边求导得到 f(x3-1)3x2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12 二。单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。每小题3分，共18分。）8. 下列等式正确的是 （C ） 、f(x)dx=f(x) 、f(t)dt=f(x) 、f(t)dt=f(x) 、f (x)dx=f(x) 正确的关系式为： 、f(x)dx=0 、f(t)dt=0 、f(t)dt=f(x) 、f (x)dx=f(x)+C 9. 设f(t)dt = f(x)- ，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ）A、e 2x B、e x C、e D、e 2x 两边求导得到f(x)= f (x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x2+y2 ，则 + = （ B）A、2x+2y B、2x 2 C、2x 2y D、2x + 2f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u2-2v, 所以 f(x,y)=x2-2y=x2+y2 + =2x-211. 二元函数 z = x2 +y2+4(x-y)的极小值为 ( D )A、8 B、-12 C、16 D、-8=2x+4, =2y-4, z的极小值点为(-2,2)，z = x2 +y2+4(x-y)的极小值为 8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ） 、 、dx 、 、利用常用广义积分的指数判别法 收敛 13. f(x,y)=ln 则 = （C ）A、 B、 C、 D、- 因为 =， 所以 = 三。计算题 (每小题6分，共36分)14. 计算定积分 edx解：原积分I te t dt = tet| - e t dt =3e3-e (e3-e) =2e3 15. 计算定积分 dx解：原积分I 2tdt = 2 arctant d(arctant)= (arctant)2 = ()2- ()2= 7p2/144 16. 已知 z = f(x2y, x - 2y)，求 , , .解： = f12xy+ f2 = f1x2 -2f2 = (f11x2 -2f12 )2xy+2xf1 +f21x2 2f22 =2x3y f11 + (x2-4xy) f122f22+2xf1 17. z=z(x,y) 由方程 2xz 2xyz + ln(xyz) = 0确定，求(1,1)点处的全微分。解：x=1,y=1 z=1Fx|(1,1,1)= 2z - 2yz +yz/xyz|(1,1,1) = 1Fz|(1,1,1)= 2x 2xy +xy/xyz|(1,1,1) = 1Fy|(1,1,1)= - 2xz +xz/xyz|(1,1,1) = -1|(1,1) = - |(1,1) = -1, |(1,1) = - |(1,1) = 1dz=dx + dy = -dx+dy 18. 计算二重积分 D: 0x1, 0y1解：原积分I=dxxexydy =exy|dx = (ex-1)dx = (ex-x)|= e-1-1= e-2 19. 计算二重积分 ， D: x2+y2=2x, y=x, X轴所围成的区域。解一：原积分I =dyydx =y(1+- y)dy=y2 - (1-y2)3/2 - y3= - + = 解二：原积分I =dqrsinq rdr =sinq dq = cos3qdcosq= = 四、应用题（每小题9分，共18分。）20.求由曲线y=与此曲线在点(1,1)处的切线及X轴所围平面图形面积S及此图形绕X轴旋转而成的旋转体体积V。解：y|(1,1) =1/2|(1,1) =1/2切线方程：y-1=(1/2)(x-1) 2y-1=x交点 A(-1,0), B(1,1)S=(y2-2y+1)dy = y3/3- y2+y= 1/3V=p()2dx - p()2dx = - p = p ( - )= 21. 投入原料A, B各x, y单位，生产数量 z =0.01x2y 。A,B原料的单价分别为10元，20元，欲用3000元购买原料，问两种原料各购买多少单位时，使生产数量最大。解：目标函数： z =0.01x2y 约束条件： 10x+20y=300设F(x,y,l)= 0.01x2y+l(10x+20y-300) 消去l得到0.04xy - 0.01x2=0 x(4y-x)=0 x=4y解得 x=200, y=50，当A原料购买200单位，B原料购买50单位时，生产数量最大。