高考数学大盘点之函数(pdf 7页).pdf

1 了解函数 映射的概念 会求 一些简单函数的定义域和值域 2 理解函数的表示方法 解析 法 图象法和列表法 3 了解简单的分段函数 并能简 单应用 4 理解函数的单调性 会讨论和 证明函数的单调性 5 理解函数的奇偶性 会判断函 数的奇偶性 6 理解函数的最大 小 值及几 何意义 并能求函数的最大 小 值 7 会运用函数的图象理解和讨 论函数的性质 8 理解指数幂的含义 了解实数 指数幂的意义 掌握幂的运算 理解 指数函数的概念 会解决与指数函数 性质相关的问题 9 理解对数的概念及其运算性 质 会用换底公式将一般对数转化为 自然对数或常用对数 了解对数在简 化运算中的作用 理解对数函数的概 念 会解决与对数函数性质相关的 问题 10 了解幂函数的概念 结合函 数y x y x2 y x3 y x 1 y x 1 2的图象 了解它们的变化情况 11 了解函数的零点的概念 能 判断函数在某个区间上是否有零点 12 能够运用函数的性质 指数 函数和对数函数的性质解决某些简 单的实际应用问题 在复习函数时 要 围 绕 一 个 中 心 抓住两个基本点 即紧紧围绕函 数思想这个中心 学会运用函数的观 点去分析问题和解决问题 抓住基本 函数的图象与性质 与函数相关的基 本题型这两个基本点 如何抓住这两 个基本点呢 事实上 研究函数的程 序可总结如下 给出定义陴求其定义域陴 求其值域陴画出图象陴研究性 质 单调性 奇偶性 周期性等 陴 综合应用 函数中的基本题型都可以看做 是生长在这个程序上的 复习时同学 们应注意以下几个方面 1 如何求 函数的解析式 2 如何求函数的 定义域 3 如何求函数的值域及最 值 有哪些方法 4 如何作出函数的 图象 有哪些解题对策 5 函数的 单调性是如何定义的 如何证明函 数的单调性 函数的单调性有何重 要的应用 6 奇函数 偶函数是如何 定义的 如何判断函数的奇偶性 奇 函数 偶函数有何重要性质 为何要 研究函数的奇偶性 7 什么样的函 数叫周期函数 周期函数有何重要性 质 为何要研究函数的周期性 如何运用函数思想去分析和解 决问题 这是一个值得特别关注的话 题 在复习时 同学们应注意以下几 个方面 1 函数思想在数列中的应 用 2 函数思想在不等式中的应用 3 函数思想在解析几何中的应用 4 函数思想在立体几何中的应用 5 函数思想在实际问题中的应用 考点阐释 复习要点 专题策划 函数S HUXUE GONGKA IKE 浙江宁波北仑中学吴文尧 特级教师 2010高考数学大盘点 函数 数学公开课 32 高中版 函数值域的求法 求函数的值域通常有下列几种 对策 1 利用基本函数的值域 2 利 用函数的单调性 可借助导数 3 化 归为二次函数的最值 4 利用基本 不等式 5 利用其反函数的定义 域 6 利用判别式法等 例1 2010天津文10 设 函 数g x x2 2 其 中x R f x g x x 4 x g x g x x x g x 则f x 的值域是 A 9 4 0 1 B 0 C 9 4 D 9 4 0 2 分析 解答分段函数 通常是 以 其人之道 还治其人之身 即分段函 数问题可用分段解决的方法应对之 但应注意分段函数的解析式是否给 出 然后各个击破 解答 由题意 f x x2 x 2 x g x x2 x 2 x g x x2 x 2 x2 x2 x 2 1 x 2 所以当x 1 2 时 f x 的值域为 2 当x 1 2 时 f x 的值域为 9 4 0 故选D 评注 本题主要考查分段函数值 域的求法及分类讨论思想的应用 由 于此题是选择题 因此我们还可以简 化解题过程 例如 若注意到当x g x 时 f x g x x 0 我们就可否 定B 若注意到x2 x 2 7 4 恒成立 我 们就可否定A和C 故选D 函数的零点问题 函数的零点问题 一般可化归为 一元方程解的分布情况问题 其中最 常用的解题对策有以下两种 其一是 充分利用函数的图象 用数形结合的 思想来解决 其二是化归为一元二次 方程根的分布情况问题来解决 例2 2010全国 理15 若直 线y 1与曲线y x2 x a有四个交点 则a的取值范围是 分析 易知原问题等价于 关于x 的方程x2 x a 1有四个不同的解 求a的取值范围 因此可用数形结合 的方法解之 也可化归为一元二次方 程根的分布情况问题解之 解答 法1 由于直线y 1和函数 y x2 x a的图象都关于y轴对称 所 以由题意可知 直线y 1与曲线y x2 x a在y轴的右侧有两个不同的交 点 即f x x2 x a 1在 0 上有两 个不同的零点 所以 1 4 a 1 0且 a 1 0 即1 a 5 4 法2 如图1 作出函数y f x x2 x a的图象 由题意可知 直线y 1应 夹在直线y a和y a 1 4 之间 即a 1 4 1 a 所以1 a 5 4 y x y a 1 4 x 1 2 O x 1 2 y x2 x a y 1 a 图1 评注 命题者的本意是要考查数 形结合的思想 因此运用解法2显得 思路自然 另一方面 我们注意到相 关函数是一个二次函数 因此还可以 考虑把问题化归为一元二次方程根 的分布情况问题来解决 故解法1也 比较简捷 例3 2010浙江理9 设函数 f x 4sin 2x 1 x 则在下列区间中 函数f x 不存在零点的是 A 4 2 B 2 0 C 0 2 D 2 4 分析 此题不难想到利用函数的 图象解之 若能在同一直角坐标平面 中分别画出函数y g x sin 2x 1 及 函数y 1 4 x的图象 则问题得到解决 解答 如图2 在直角坐标平面中 先画出函数y sin2x的图象 图中的实 线 然后把其图象向左平移 1 2 个单 位 得到y g x sin 2x 1 的图象 易 见平移后的图象 图中的虚线 与直 线y 1 4 x在区间 2 0 0 2 2 4 均有交点 故选A x y 43 21O 1 2 3 4 图2 评注 这是同学们在考试中感到 很 纠结 的问题之一 究其原因 是 因为要画出函数y g x sin 2x 1 的 精确图象并非一件容易的事 上述解 法的可取之处在于通过图象的平移 直接估算出结论 函数图象的画法及变换 由于数形结合思想是解决函数 问题最重要的思想方法 因此如何画 出相关函数的图象就显得很重要了 一招一式 33 事实上 通过图象变换 平移 对称 伸缩 找到函数的原形是画函数图象 的最佳途径 例4 2010浙江理10 设函数 的集合P f x log2 x a b a 1 2 0 1 2 1 b 1 0 1 平面上点的集合Q x y x 1 2 0 1 2 1 y 1 0 1 则 在 同一直角坐标系中 P中的函数f x 的 图象恰好经过Q中两个点的函数的个 数是 A 4B 6C 8D 10 分析 由于Q是由12个确定的点 组成的集合 而集合P是由12个确定 的函数组成的集合 因此可对这12个 函数逐个验证 确定满足条件的函数 的个数 在操作时辅之以分类讨论思 想 还可以简化验算的过程 解答 如图3 集合Q共有12个元 素 点 集合P中的元素均可通过把 函数y log2x的图象平移而得到 其中 只通过左右平移而得到的函数为 1 y log2 x 1 2 y log2x 1 2 3 y log2x 4 y log2x 1 2 满足条 件的函数可通过对函数图象 1 2 3 4 作上下平移而得到 其中 1 2 3 依次可分别得到两个满足条 件的函数 而对 4 作上下平移至多 经过Q中的一个点 故满足条件的函 数的个数为6个 O 1 1 y x 1 1 1 2 3 图3 评注 这是一道有关函数图象的 计数问题 而分类讨论思想是解决较 复杂的计数问题最常用的手段 因 此 解决本问题时 在明确集合P中的 任意一个元素 函数 的图象均与函 数y log2x的图象全等的基础上 还需 注意分类讨论思想的运用 函数中的参数问题 求函数中的参数范围 可以说是 近几年高考的热点问题 其中 通过 分离变量 把问题化归为求目标函数 的最值或化归为求一个目标不等式 的解集问题是首选的解法 有时我们 也可以用数形结合法 化归为方程根 的分布情况等方法来解决 例5 2010天津理16 设函数 f x x2 1 对任意的x 2 3 若f x m 4m2f x f x 1 4f m 恒成 立 则实数m的取值范围是 分析 由于函数f x 的解析式已 经给定 所以解题时要做的第一件事 是 扫清问题的外围 即把恒成立的 不等式化为一个具体的关于x m的不 等式 然后选择合理的解法 解答 由题意得 x2 m2 1 4m 2 x2 1 x 1 2 1 4 m2 1 在x 3 2 上 恒成立 即 1 m2 4m 2 3 x2 2 x 1在x 3 2 上恒成立 易知当x 3 2 时 函数y 3 x2 2 x 1取得最小值 5 3 所以 1 m2 4m 2 5 3 即 3m2 1 4m2 3 0 解得m 3 姨 2 或m 3 姨 2 即实数m的取值范围为 m m 3 姨 2 或m 3 姨 2 评注 本题在 扫清外围 后 不 难发现能够实现变量分离 所以先利 用分离变量法 再寻求关于m的目标 不等式 这是比较合理的解题途径 利用函数求最大 小 值 最值问题是数学中永恒的话题 有关生产 生活中的应用题 数学中 非函数问题的最值和取值范围问题 等 一般可用建立目标函数的方法 解之 例6 2010全国I理10 已知 函数f x lgx 若0 a b 且f a f b 则a 2b的取值范围是 A 22 姨 B 22 姨 C 3 D 3 分析 注意到a 2b含有两个字母 变量 又知关于a b的方程f a f b 所 以 我 们 可 以 从 中消 去 一 个 变 量b 或a 从而把a 2b表示成关 于a的函数 进而求出其值域即可 解答 由0 a b 且f a f b 可知 0 a 1 b 且ab 1 所以f a a 2b a 2 a 0 a 1 由于f x x 2 x 是 0 1 上的减函数 且f 1 3 故 其 值 域 为 3 所以a 2b的取值范围是 3 所以选C 评注 在求目标函数时 同学们必 须注意到目标函数的定义域 上述解 法中 得到0 a 1是至关重要的 否则 可能会错选B 例7 2010江苏理14 将边长 为1的正三角形薄片沿一条平行于 专题策划 函数S HUXUE GONGKA IKE 数学公开课 34 高中版 底边的直线剪成两块 其中一块是梯 形 记S 梯形的周长 2 梯形的面积 则S的最小 值是 分析 由于剪成的小正三角形的 边长确定时 S的值也随之确定 所以 可设小正三角形的边长为x 建立目 标函数 然后再求出这个目标函数的 最小值即可 解答 设剪成的小正三角形的边 长为x 则S 4 3 姨 3 x 2 1 x2 0 x 1 令3 x t 所以2 t 3 所以 1 3 1 t 0 所以可令h x x x2 m 3 x 2m x x x 其中 0 使x 0 时 h x 0 x 0 时 h x 0 所以 0 成立 故m 0 即a b m 0 所 以b的取值范围为 a 记 k xk a k 1 2 3 4 其中 1 2 3是g x 的三个极值点 则原问 题等价于 是否存在实数b 可以找到 4 R 使 1 2 3 4的某种排列 i1 i2 i3 i4 其中 i1 i2 i3 i4 1 2 3 4 依次成等差数列 不妨设 1 2 3 则由 可知 2 0 1 3是方程x2 m 3 x 2m 0的 两个实数根 所以 1 1 2 m 3 m2 2m 9 姨 3 1 2 m 3 m2 2m 9 姨 1 当 4埸 1 3 时 1 3 2 2 0 即m 3 0 所以m 3 此时 1 6 姨 3 6 姨 4 26 姨 或 4 26 姨 此时 b m a 3 a x4 4 a a 26 姨 或a 26 姨 2 当 4 1 3 时 4 2 1 3 m 3 4 m 3 当m0 此时 1 2 4 3成等差数列 所以 1 4 2 2 0 即 3 m 3 m2 2m 9 姨 0 即 m2 2m 9 姨 3 m 3 解 得m 7 13 姨 2 或m 7 13 姨 2 舍去 此时b m a 7 13 姨 2 a x4 4 a a m 3 a 1 13 姨 2 当m 3时 40 等于 A x x4 B x x 4 C x x 6 D x x 2 答案 B 解答 当x 0时 f x 2x 4 0圯 x 2 又由于函数是偶函数 所以当x R 时 f x 0的解集为 x x2 故f x 2 0的解集为 x x4 7 2010北京文6 给定函数 y x 1 2 y log1 2 x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上单调递减的 函数序号是 A B C D 答案 B 8 2010江西理9 给出下列三个 命题 函数y 1 2 ln 1 cosx 1 cosx 与y lntan x 2 是同一函数 若函数y f x 与y g x 的图象关于直线y x对称 则 函数y f 2x 与y 1 2 g x 的图象也关于 直线y x对称 若奇函数f x 对定义 域内任意x都有f x f 2 x 则f x 为 周期函数 其中真命题是 A B C D 答案 C 解答 对于 因为两函数的定 义域不同 故错误 排除A B 对于 因为f x 是奇函数 所以f x f 2 x f x 2 所以f x 2 f x f x 2 故f x 是以4为周期的周期函数 所 以选C 9 2010重庆文12 若t 0 则函 数y t2 4t 1 t 的最小值为 答案 2 10 2010广东理9 函数f x lg x 2 的定义域是 答案 2 11 2010江苏理5 设函数f x x ex ae x x R 是奇函数 则实数a 答案 1 指数函数 对数函数与幂 函数 12 2010 湖 北 文 5 函 数y 1 log0 5 4x 3 姨 的定义域为 A 3 4 姨姨 1 B 3 4 姨姨 C 1 D 3 4 姨姨 1 1 答案 A 13 2010浙江文2 已知函数f x log2 x 1 若f a 1 则a等于 A 0 B 1C 2 D 3 答案 B 14 2010山东文3 函数f x log2 3x 1 的值域为 A 0 B 0 C 1 D 1 答案 A 试题类编 数学公开课 36 高中版 15 2010天津文6 设a log54 b log53 2 c log45 则 A a c bB b c a C a b cD b a1 而a b 0 1 故 可否定A和B 又b log53 2 log53 log54 a 故选D 16 2010辽宁文10 设2a 5b m 且 1 a 1 b 2 则m等于 A 10 姨B 10 C 20D 100 答案 A 17 2010全国 文7 已知函数 f x lgx 若a b且f a f b 则a b 的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 不妨设0 a b 则由题意可 得0 a 1 b 且ab 1 所以a b f a a 1 a 0 a 1 由于f x x 1 x 是 0 1 上的减函数 其值域为 2 故a b 的取值范围是 2 所以选C 18 2010宁夏文12 已知函数 f x lgx 010 若a b c互不相 等 且f a f b f c 则abc的取值范 围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 答案 C 19 2010湖北文3 已知函数f x log3x x 0 2x x 0 则f f 1 9 等于 A 4B 1 4 C 4D 1 4 答案 B 20 2010天津理8 函数f x log2x x 0 log1 2 x xf a 则实数 a的取值范围是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 答案 易知f x log2x x 0 log2 x xf a 圳f a 0圳 1 a1 故选C 21 2010山东理11 函数y 2x x2 的图象大致是 O y xO y x AB O y xO y x CD 答案 因为当x 2或x 4时 y 2x x2 0 故可否定B C 又当x 时 y 故可否定D 因此选A 函数的零点问题 22 2010浙江文9 已知x0是函数 f x 2x 1 1 x 的一个零点 若x1 1 x0 x2 x0 则 A f x1 0 f x2 0 B f x1 0 C f x1 0 f x2 0 f x2 0 答案 B 23 2010上海文17 若x0是方程 lgx x 2的解 则x0属于区间 A 0 1 B 1 1 25 C 1 25 1 75 D 1 75 2 答案 D 24 2010天津文4 函数f x ex x 2的零点所在区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 C 25 2010福建文7 函数f x x2 2x 3 x 0 2 lnx x 0 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 函数的实际应用问题 26 2010陕西理10 某学校要召 开学生代表大会 规定各班每10人推 选一名代表 当各班人数除以10的余 数大于6时再增选一名代表 那么 各 班可推选代表人数y与该班人数x之 间的函数关系用取整函数y x x 表示不大于x的最大整数 可以表示 为 A y x 10 B y x 3 10 C y x 4 10 D y x 5 10 答案 B 27 2010湖北理17 为了在夏季 降温和冬季供暖时减少能源损耗 房 屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某 幢建筑物要建造可使用20年的隔热 层 每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系C x k 3x 5 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8万元 设f x 为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和 求k的值及f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 最小 并求其最小值 答案 设 隔 热 层 的 厚 度 为 x cm 则由题意可知 每年的能源消 耗费用C x k 3x 5 0 x 10 由 C 0 k 5 8得k 40 因此C x 40 3x 5 又建造费用为C0 x 6x 所以f x 37 专题策划 函数S HUXUE GONGKA IKE 20C x C0 x 800 3x 5 6x 0 x 10 f x 2 400 3x 5 3x 5 10 2 2400 姨 10 70 当且仅当 400 3x 5 3x 5 即x 5时 成立 所以 当x 5时 f x min f 5 70 故隔热层 修建5 cm厚时 总费用达到最小值 70万元 函数性质的综合应用 28 2010辽宁文4 已知a 0 函 数f x ax2 bx c 若x0满足关于x的方 程2ax b 0 则下列命题为假命题的 是 A 埚x R f x f x0 B 埚x R f x f x0 C 坌x R f x f x0 D 坌x R f x f x0 答案 由题意 函数f x 的最小值 是f b 2a 坌 坌 f x0 其等价于对任意x R f x f x0 所以命题C错误 29 2010天津文16 设函数f x x 1 x 对任意x 1 f mx mf x 0恒成立 则实数m的取值范围 是 答案 因为对任意x 1 f mx mf x 2mx m 1 m 坌坌 1 x 0恒成 立 所以当m0对 任意x 1 恒成立 即2m2 1 1 m2 0 解得m2 1 所以m0时 有2m2x2 1 m2 0对任意x 1 恒 成立 此时无解 综上所述 实数m的 取值范围是 1 30 2010江苏理11 已知函数 f x x2 1 x 0 1 xf 2x 的x的取值范围是 答案 x 1 2 姨 1 31 2010山东理14 若对任意x 0 x x2 3x 1 a恒成立 则a的取值范 围是 答案 1 5 坌 坌 32 2010湖南理20 已知函数 f x x2 bx c b c R 对任意的x R 恒有f x f x 证明 当x 0时 f x x c 2 若对满足题设条件的任意 b c 不等式f c f b M c2 b2 恒成 立 求M的最小值 答案 易知f x 2x b 由题 意可知对任意x R 有2x b x2 bx c 恒成立 即x2 b 2 x c b 0恒成立 所以 b 2 2 4 c b 0 即c 1 4 b2 1 于是c 1 且c 2 1 4 b2 姨 b 故c b 0 所以2c b c b c 1 所以当x 0时 x c 2 f x 2c b x c c 1 0成 立 即f x x c 2成立 由 可知c b f c f b c2 bc 2b2 c b