直线和坐标轴围成的三角形面积问题.doc

直线和坐标轴围成的三角形面积问题北京十一学校 张留杰 在学习直线的方程时大家曾遇到过这样一道题：引例：直线经过点且与轴正半轴和轴正半轴分别交 于、两点，当面积最小时求直线的方程。 此题主要是考查直线方程的几种形式的应用和有关最小值问题，首先要考虑设直线方程的哪种形式？其次如何求面积最小值？【分析1】直线经过一定点，自然想到设直线的点斜式方程，然后用直线的斜率分别表示线段、的长，于是构造出面积与的函数关系，然后求出当取最小值时的即可。解法1设直线的方程为，的面积为 直线与轴正半轴交点 轴正半轴交点 （显然不是的二次函数，根据关系式特点想到重要不等式） 即 （注意重要不等式成立的条件不可忽视！） 直线与轴正半轴、轴正半轴分别相交 ，又为定值 当且仅当即时，等号成立 面积最小值为12，此时直线的方程为 即 （此外，在设斜率为时，还可以构造关于的一元二次方程，利用判别式解得，所求方程仍为，这里从略）【分析2】由直线与轴正半轴和轴正半轴分别相交，可设截距式方程且两截距为正值，然后利用均值定理求面积最小值，从而求出截距的值。解法2 设直线的方程为 （ 又直线过点， 当且仅当 即 时取等号 面积最小值为=12， 此时直线的方程为 即 比较两种解法可知解法1在用均值定理时必须注意隐含条件否则就会出现“”这样的错误；解法2则利用且求出了面积的最小值。 （对问题的解决过程进行回顾与反思） 细心的同学是否已发现所求结果和已知条件之间的必然联系呢？经过观察发现且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，即点为线段的中点，而已知条件中唯一的数据就是点的坐标，由此可见这并非偶然，下面不妨将引例中的条件“直线经过点”引申为“直线经过点”看结论如何？于是得问题1. 直线经过点且与轴正半轴和轴正半轴分别 交于、两点，当面积最小时求直线的方程。【分析】由题意可知，所以设直线的截距式方程较方便. 解：设直线的方程为 （ 又直线过点， 由题意可知 当且仅当 即 时以上等号成立. 面积最小值为，此时直线的方程为 即 . 由此可得：结论1：已知第一象限内任一点，过点的直线交轴正半轴和轴正半轴分别交于、两点，则当且仅当点为线段的中点时面积最小值为，此时直线的方程为。 （结论1的得出一定会引起同学们的进一步思考） 如果我们将条件中的点、点、点关于轴做对称点，则直线在第二象限内与坐标轴所围成的面积取得最小值的条件是否发生变化？面积最小值又为多少？ 面积最小时的直线方程又是什么？若点在第三、第四象限呢？ 于是可引申出：问题2. 已知直线过点 ，求直线在点所在象限内与两坐标 轴围成的三角形面积的最小值，并求此时的直线方程。【分析】由于题目中没有给出点所在象限，所以若设直线的截距式方程进行求解分类比较复杂；如果设点斜式方程，则可按斜率和两种情况分类。 解：由题意可知直线的斜率存在，设所求直线的方程为： ，直线 在点所在象限内与两坐标轴围成的三角形是，其中点在轴上，点在轴上， 面积 （1）当时，所求直线 在两坐标轴上的截距异号， 又由题意可知当时， 又 当且仅当 即 时等号成立 面积最小值为，此时直线的方程为 即 . （2）当时，所求直线 在两坐标轴上的截距同号， 又由题意可知当时， 又 当且仅当 即 时等号成立 面积最小值为，此时直线的方程为 即 .综上所述， 无论点在第几象限，当且仅当直线的斜率（或为线段 的中点）时，面积最小值为，此时直线的方程为 。 所以可得结论2