北师大版选修41 1.2.4 切割线与相交弦定理 课件（24张）.ppt

第四课时切割线与相交弦定理 基础梳理1 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 2 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 相等 比例中项 要点阐释1 三大定理的数学语言记忆 如图 ab cd为圆o的弦且交于p点 延长bd与ca交于q qb与qc是两割线 rd切 o于d点 交qc于r点 rs与 o切于s点 则相交弦定理 ap pb dp pc 割线定理 qd qb qa qc 切割线定理 ra rc rd2 2 从相交弦定理开始 相交弦定理可以利用相似三角形对应边成比例证明 然后使两弦的交点p从圆内移到圆外得出割线定理 再将一条割线变为圆的切线得出切割线定理 最后两条割线都变成切线得出切线定理 充分体现了运动的思想 注意 1 在相交弦定理的叙述和应用中 学生往往将半径 直径跟定理中的线段搞混 从而导致证明过程发生错误 因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程 了解是哪两个三角形相似 从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理 2 在平面几何证明题中 所添加辅助线不同而证明方法也不尽相同 所以添加辅助线至关重要 一般见切线 连接切点与圆心 见圆外一点所作的两条切线时 连接此点与圆心的连线 以及切点与圆心的连线等 3 证题的推理方法按逻辑推理的方式 分为演绎法和归纳法 所谓演绎法就是由一般性的命题正确 推出特殊命题正确 所谓归纳法就是用完全归纳推理的方式进行证题 即枚举欲证论题的各种可能的情况 证明每种情况下命题真实 从而确立原命题真实 这就要求考虑问题要全面 而且善于对问题的各种情况进行分类讨论 4 课本上给出的例题 从多个方面体现了这几个定理的重要应用 例如 证相等 证等积式 证明四点共圆 证平行等等 这些问题也正是几何证明中最常见的问题 典例剖析类型一相交弦定理的应用 例1 已知圆中有两条弦相交 第一条弦被交点分为12cm和16cm两段 第二条弦的长为32cm 求第二条弦被交点分成的两段线段的长 解 设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分别为xcm 32 x cm 根据相交弦定理 可得12 16 32 x x 解得x 8 cm 或24 cm 点评 根据相交弦定理列出关系式 1 如图 ap 2cm pb 2 5cm cp 1cm 求cd的长 答案 cd 6 cm 类型二切割线定理的应用 例2 已知 从圆外一点p 作切线pa a为切点 从pa的中点b作割线bcd 交圆于c d 连接pc pd 分别交圆于e f 求证 ef pa 点评 讨论与圆有关的线段间的相互关系 例如平行 相等或成比例 常常可以借助于圆幂定理和相似成比例的知识去解决 通常用分析法揭示解题的思考过程 而用综合法来表示解题的形式 2 如图 已知线段ab和 o交于点c d ac bd ae bf分别切 o于点e f 求证 ae bf 证明 因为ae与 o相切 ad为 o的割线 所以ae2 ac ad 因为bf与 o相切 bc为 o的割线 所以bf2 bd bc 因为ac bd 所以ac cd bd cd 即ad bc 所以ae2 bf2 即ae bf 类型三四个定理的综合应用 例3 1 如图 1 直线mn与 o相交 且与 o的直径ab垂直 垂足为p 经过点p的直线与 o交于c d两点 直线ac交mn于点e 直线ad交mn于点f 求证 pc pd pe pf 1 2 2 如图 2 若直线mn与 o相离 1 中的其余条件不变 那么 1 中的结论还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 在图 3 中 直线mn与 o相离 且与 o的直径ab垂直 垂足为p 请按要求画出图形 画 o的割线pcd pc pd 直线bc与mn交于e 直线bd与mn交于f 能否仍能得到 1 中的结论 请说明理由 3 解 1 证明 如图 连接bd ab是 o直径 adb 90 adc bdc 90 mn ab aep bac 90 bac bdc adc aep dpf epc 2 结论仍然成立 证明 如图 连接bd ab是 o直径 adb 90 abd bad 90 acd pce abd acd pce bad 90 mn ab pfa bad 90 pce pfa epc fpd 3 画图 结论仍然成立 证明 连接ac ab是 o直径 acb 90 a a