第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件.docx

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求考情分析命题趋势1.理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义2017全国卷，32017天津卷，42017北京卷，62016四川卷，72016浙江卷，41.判断命题的真假2写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等3常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件4考题多以选择题、填空题形式出现分值：5分1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以_判断真假_的陈述句叫做命题，其中_判断为真_的语句叫做真命题，_判断为假_的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系若原命题为：若p则q，则逆命题为_若q，则p_，否命题为_若綈p，则綈q_，逆否命题为_若綈q，则綈p_.(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有_相同_的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_无关_.3充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的_充分_条件，q是p的_必要_条件(2)若pq，且qp，则p是q的_充分不必要_条件(3)若pq，且qp，则p是q的_必要不充分_条件(4)若pq，则p是q的_充要_条件(5)若pq，且qp，则p是q的_既不充分也不必要_条件(6)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的_充分不必要_条件4用集合关系判断充分条件、必要条件以p：xA，q：xB的形式出现(1)若p是q的充分条件，则A_B.(2)若p是q的必要条件，则B_A.(3)若p是q的充分不必要条件，则A_B.(4)若p是q的必要不充分条件，则B_A.(5)若p是q的充要条件，则A_B.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)语句x23x20是命题()(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系()(3)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”()(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同()解析(1)错误无法判断真假，故不是命题(2)错误一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 ，它们的真假性相同(3)正确一个命题与其逆否命题等价(4)错误“p是q的充分不必要条件”即为“pq且qp”，“p的充分不必要条件是q”即为“qp且pq ”. 2下列命题为真命题的是(A)A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2b，则a1b1”的否命题是(C)A若ab，则a1b1B若ab，则a1b1C若ab，则a1b1D若ab，则a11，则x21”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x21，则x1”的逆否命题(4)已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是(D)A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题解析(1)根据否命题的定义可知，命题“若ab，则a1b1”的否命题应为“若ab，则a1b1”(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可由xy0知x0且y0，其否定是x0或y0.(3)对于A项，否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故A项为假命题；对于B项，逆命题为“若x|y|，则xy”，分析可知B项为真命题；对于选项C，否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故C项为假命题；对于D项，逆否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故D项为假命题(4)由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1，命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，其逆否命题是真命题二充分、必要条件的判断充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法綈q是綈p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件；綈q是綈p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件；綈q是綈p的充要条件p是q的充要条件【例2】 (1)“a2”是“函数f(x)x22ax3在区间2，)上为增函数”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设R，则“|”是“sin ”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)“a2”“函数f(x)x22ax3在区间2，)上为增函数”，但反之不成立(2)由|，得0，故sin .由sin ，得2k2k，kZ.得不到|0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(B)A21，)B9，)C19，)D(0，)(2)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_0,3_.解析(1)条件p：2x10，条件q：1mxm1，又p是q的充分不必要条件，故有解得m9.(2)由x28x200得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP，又集合S非空则0m3.当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,31“直线yxb与圆x2y21相交”是“0b1”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若“直线yxb与圆x2y21相交”，则圆心到直线的距离为d1，即|b|，不能得到0b1；反过来，若0b1，则圆心到直线的距离为d1，所以直线yxb与圆x2y21相交，故选B2下列有关命题的说法错误的是(C)A若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题B“x1”是“x1”的充分不必要条件C“sin x”的必要不充分条件是“x”D若命题p：x0R，x0，则命题綈p：xR，x20解析对于A项，根据复合命题的真值表知正确；对于B项，由于x1可以推出x1，但x1不一定能推出x1，故正确；对于D，由特称命题的否定形式知正确；对于C项，“x”应为“sin x”的充分不必要条件3设向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，则“ab”是“tan ”成立的_必要不充分_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析absin 2cos2cos 0或2sin cos cos 0或tan ，所以“ab”是“tan ”成立的必要不充分条件4设p：|2x1|0)；q：0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_(0,2_.解析由|2x1|0)，得m2x1m，x0，得x1.p是q的充分不必要条件，又m0，0m2.易错点1对充要条件的概念模糊不清错因分析：对充分、必要、充要条件的概念不清，不知由谁推出谁【例1】 已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围为_.解析由p得1000解得2x3.由q得a1xa1.因为p是q的充分不必要条件，所以解得2a3.答案 (2,3【跟踪训练1】 已知A2x8，xR，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_(2，)_.解析A2x8，xRx|1x3，即m2.易错点2不会“正难则反”错因分析：以否定形式给出的命题不易直接解决时，不要忘记了判断与之等价的逆否命题【例2】 已知条件甲：“ab4”，条件乙：“a1且b3”，则甲是乙的_条件解析直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a1或b3”是“ab4”的什么条件易知应为既不充分也不必要条件答案 既不充分也不必要【跟踪训练2】 (2018福建南平一模)“tan ”是“”的(D)A充要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充分不必要条件解析tan k(kZ)，故“tan ”是“”的充分不必要条件，故选D课时达标第2讲解密考纲考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置一、选择题1(2018湖南衡阳五校联考)命题“若xa2b2，则x2ab”的逆命题是(D)A若xa2b2，则x2abB若xa2b2，则x2abC若x2ab，则x0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题C“x4”是“x23x40”的充分条件D命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”解析命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”，故A项正确；命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”，由14m0，解得m，是假命题，故B项错误；x4时，x23x40，是充分条件，故C项正确；命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”，故D项正确，故选B3(2018山东淄博期中)“x(x5)0成立”是“|x1|4成立”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析x(x5)00x5，|x1|43x5，x|0x5x|3x5，“x(x5)0成立”是“|x1|4成立”的充分不必要条件，故选A4直线xym0与圆x2y22x10相交的一个充分不必要条件是(C)A3m1B4m2C0m1Dm1解析圆的标准方程为(x1)2y22，圆心(1,0)到直线xym0的距离d，当直线与圆相交时，即3m1，因为m|0m1m|3m1，所以0m1是直线与圆相交的一个充分不必要条件，故选C5(2017全国卷)设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为(B)Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析设复数zabi(a，bR)，对于p1，R，b0，zR，p1是真命题；对于p2，z2(abi)2a2b22abiR，ab0，a0或b0，p2不是真命题；对于p3，设z1xyi(x，yR)，z2cdi(c，dR)，则z1z2(xyi)(cdi)cxdy(dxcy)iR，dxcy0，取z112i，z212i，z12，p3不是真命题；对于p4，zabiR，b0，abiaR，p4是真命题，故选B6(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析因为m，n是非零向量，所以mn|m|n|cosm，n0的充要条件是cosm，n0.因为0，则由mn可知m，n的方向相反，m，n180，所以cosm，n0，所以“存在负数，使得mn”可推得“mn0”；而由“mn0”，可推得“cosm，n0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数，使得mn”综上所述，“存在负数，使得mn”是“mn2 018且ab”的逆否命题是_若ab2018或ab，则ab_.解析若ab2 018或ab，则a9_.解析设f(x)x2mx2m，由f(x)0有一根大于3一根小于3，及f(x)的图象得f(3)9，即方程x2mx2m0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m9.9已知“命题p：(xm)23(xm)”是“命题q：x23x43(xm)，得(xm)(xm3)0，解得xm3.由x23x40，得(x1)(x4)0，解得4x1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，(4,1)x|xm3，所以m34或m1，解得m7或m1.所以m的取值范围为(，71，)三、解答题10写出命题“已知a，bR，若关于x的不等式x2axb0有实数解，则a24b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解析(1)逆命题：已知a，bR，若a24b，则关于x的不等式x2axb0有实数解，为真命题(2)否命题：已知a，bR，若关于x的不等式x2axb0没有实数解，则a24b，为真命题(3)逆否命题：已知a，bR，若a24b，则关于x的不等式x2axb0没有实数解，为真命题11已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解析yx2x12，x2，y2