第十二章数项级数习题课.doc

第十二章 数项级数习题课一 概念叙述1 收敛于部分和数列收敛于2收敛的柯西准则有3发散的柯西准则 ，有 二 疑难解析与注意事项1有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号这种说法对吗？答：不对一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同这就是无限项相加与有限项相加的质的不同（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数）当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变（去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的）如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变（绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.）类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和；（在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和）但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变 2.级数，的敛散性有何联系？ 答：1）若与都收敛，则收敛，且；2）若与中有一个收敛有一个发散，则发散；3）若与都发散，则可能收敛可能发散例如，都发散，但收敛， 都发散，但发散3.设级数，都是发散级数，则发散吗？答：不一定，可能收敛，可能发散 例如，都发散，但收敛都发散，也发散4若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如收敛，而级数是发散的但级数加括号后发散，则原级数一定发散. 5级数收敛，与有什么关系？答：收敛，但发散6若级数对每个固定的满足条件，则级数一定收敛吗？答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的，可找到与任给正数有关的（这里一般与还有关），使得当，有，而收敛的柯西准则有例如，级数，对每个固定的，都有 ，但级数发散.71)若和都收敛，且，则收敛吗？ 2)若和都发散，且，则发散吗？答：1) 若和都收敛，且，则收敛.由得，而收敛，由比较原则得，因此收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由收敛得收敛）2）不一定，例如，收敛，假如还有条件，则发散，这由比较原则得到.8设为正项级数，且，则级数收敛吗？答：不一定，例如满足，但发散，因此一定要强调9如何判断正项级数的敛散性？答：1）先判断的通项的极限是否为0，若，则发散，若，则需继续判断；2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性：若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式；若通项含有阶乘连乘次幂等因子时用比式判别法的极限形式；若通项含有次幂因子时用根式判别法的极限形式；若通项非负单调用积分判别法.若上述方法失效用比较原则（例如含等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛的定义（易求部分和）.101)交错级数一定收敛吗？ 2) 若. 交错级数 是否必收敛 ?答：1)不一定，交错级数只有满足了莱布尼兹判别法的条件才收敛.例如，为交错级数，但通项极限不为0，因此发散.2) 不一定，考查交错级数 .这是交错级数 , 有. 但该级数发散 .11收敛与收敛，发散与发散有什么关系？答：收敛 收敛，发散发散，但若用正项级数的比式判别法或根式判别法判断发散，则一定发散.因为当用比式判别法判断发散时，条件，于是发散；当用根式判别法判断发散时，条件于是发散.121）绝对收敛，绝对收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？2）条件收敛，绝对收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？3）条件收敛，条件收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？答：1）是绝对收敛，因为绝对收敛（收敛），绝对收敛（收敛），且收敛，因此收敛，即绝对收敛.2）是条件收敛，反证法，设绝对收敛，因为绝对收敛，则绝对收敛，矛盾.3）收敛，但可能绝对收敛可能条件收敛.例条件收敛，条件收敛；条件收敛，条件收敛，但是绝对收敛的.13判断一般项级数敛散性的步骤：答：1)先判断通项的极限是否为0，若通项的极限不为0，则发散，若通项极限为0，则需继续判断；2）判断的收敛性（用正项级数判别法判断）若收敛，则绝对收敛，若发散，如果是用比式判别法或根式判别法判断发散，则发散，若不是用比式判别法且不是用根式判别法判断发散，则需要继续判断；3）若是交错级数，用莱布尼兹判别法，如用莱布尼兹判别法判断交错级数收敛，则条件收敛，若的通项可分解成两个数列的乘积，用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，若判断收敛，则条件收敛.14对于一般项级数，如果，能否推出与具有相同的敛散性.答：不能，例如与，前者收敛，后者发散，但却有.注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数的结论，注意不要把仅对正项级数成立的结论随意套用到一般级数上来.15.因为或则和同时敛散，对吗？答：不对，比较判别法的极限形式只能用于正项级数，对变号级数不能使用. 第一个级数是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，因此收敛.第二个级数虽然是交错级数，并且它的通项与第一个级数的通项是等价无穷小量，但并不满足通项绝对值单调的条件，因此不能用莱布尼兹判别法.为了研究第二个级数的敛散性，把两个级数通项之差构成第三个级数：，其中，由此可见第二个级数发散.16.设为收敛的正项级数, 能否存在一个正数, 使得: ?答：不一定. 如收敛, 而.17若为正项级数，判断下列语句是否正确，并说明理由.1)若，则级数收敛吗？2)若存在非零常数，使得，级数收敛性如何？3)设级数收敛，能否推出收敛，反之又如何？答：1）不一定：例如级数若为，则满足所给条件，但是发散. 2）正确：由于可写成，由比较法可知级数与具有同敛散性，即发散.3）正确：由级数收敛可知.故存在，当时有，从而之后恒有，故由级数收敛，知也收敛. 但反之不一定，例如，取，则发散，但是收敛.注：要掌握常见级数，例如、等级数的敛散性.18. 设级数收敛，能否推出收敛？答： 不能，例如取，收敛，但发散.三 重点习题1几个常用级数的收敛性1）等比级数（几何级数）：当时，级数收敛于；当时，级数发散 2）级数：当级数收敛；级数发散，当时收敛；当时发散 3）交错级数：当级数绝对收敛；级数条件收敛；级数发散 4）：当级数绝对收敛；级数条件收敛；级数发散2.讨论下列级数的敛散性： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1）（拿到级数先判断级数的通项是否为0）因为，则发散（2）(通项易找等价无穷小量用比较原则的极限形式)因为，而收敛（等比级数的公比）（3）（含有阶乘用比式判别法）因为，则发散（4）（含有次幂用根式判别法） 因为，则收敛(5) 因为则，因为，则收敛（6）因为（），则，因为收敛，则收敛（7）（充分大）则，因为收敛，则收敛（8）因为（），则，因为收敛，则收敛 3判断下列级数的敛散性若收敛，指出绝对收敛或条件收敛 1) ； 2）；3）证 1）先对通项加绝对值，判断（当充分大，有，且级数与前面有限项无关）的敛散性因为，而发散，则发散再判断通项不加绝对值的敛散性因为为交错级数，且递减（递减，当充分大，有，递增，则复合之后递减）且，由莱布尼兹判别法知收敛，综上条件收敛 2）先对通项加绝对值，判断的敛散性因为，且发散，则发散再判断通项不加绝对值的敛散性因为为交错级数，令，则，即递减且，由莱布尼兹判别法知收敛，综上条件收敛3）先对通项加绝对值，判断的敛散性，因为，当时收敛，绝对收敛，当时发散，因为是用比式判别法判断的，则发散，当时，则发散，因为是用比式判别法判断的，则发散（因为单调增加收敛于，则为的上界）注：当，此时不好用比式判别法的极限判断，则我们用比式判别法判断4. 证明:若数列有, 则(1) 级数发散; (2) 当时, .证明: (1) 级数的部分和,而 , 故级数发散.(2) 级数的部分和,故 .5 设，证明：如果级数收敛，则级数与级数都收敛证 1）先证收敛：因级数收敛，则，故当充分大时，因而，由比较判别法知级数收敛2）证收敛：因 ，且和均收敛，所以由比较判别法知级数收敛 6 应用级数理论证明极限： （1） ；（2） .分析 如果级数收敛，则，这个结果称为级数收敛的必要条件把数列的通项看成某级数的通项，而对此级数的收敛性的判别又较容易，则由级数收敛的必要条件，立即得出数列的极限证 （1）考虑级数， 由于，所以级数收敛，由级数收敛的必要条件知 （2）考虑级数，由于所以级数收敛，由级数收敛的必要条件即知 7证明：若收敛，则收敛分析 这是一个抽象的数列和级数，且条件类型相当于知道相邻两项的估计，由此可得任意两项差的估计，故