第二十章数据的分析全章导学案.doc

第二十章 数据的分析平均数（1）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念.2.使学生掌握加权平均数的计算方法.3.通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。【导学重点】会求加权平均数.【导学难点】对“权”的理解.【学法指导】类比延伸.【课前准备】查资料理解“权”.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.理解数据的权和加权平均数的概念掌握加权平均数的计算方法.2.描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。二、检查预习、自主学习一组数据88，72，86，90，75的平均数是 ；一组数据12，12，12，12， 4，4，4，4，4，13，的平均数是 ；一组数据有5个20，4个30，3个40，8个50，则这20个数的平均数为 .三、教师引导某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表：郊县人数（万）人均耕地面积（公顷）A150.15B70.21C100.18求这个市郊县的人均耕地面积是多少?(精确到0.01公顷)（分析：人均耕地面积=）讨论：1.总耕地面积= .2.总人口= .3.人均耕地面积= .4.这个问题中，哪些是数据？哪些是权？四、问题导学、展示交流1.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲85837875乙73808582（1）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3322的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？讨论：将所占比例看作它们各自的权，即听占有3份，说占 份，读占 份，写占 份，合计 份。）（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2233的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？2.一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各个成绩均按百分制，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成绩（百分制），进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：选手演讲内容演讲能力演讲效果A859595B958595请决出两人的名次。五、点拨升华、当堂达标1.一般说来，如果在n个数中，出现，出现次，出现次，则，其中,叫做权。2.完成练习1题.3.完成习题20.1中1题.六、布置预习预习下一节，完成练习1题.平均数（2）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1、加深对加权平均数的理解.2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题.3.会用计算器求加权平均数.【导学重点】根据频数分布表求加权平均数.【导学难点】根据频数分布表求加权平均数.【学法指导】数形结合.【课前准备】频数直方分布图的理解.【导学流程】一、呈现目标、明确任务会根据频数分布表求加权平均数.二、检查预习、自主学习交流预习成果，说说每个数据的权是多少.三、教师引导1.探究课本P128页“探究”.（1）依据统计表可以读出哪些信息？（2）这里的组中值指什么，它是怎样确定的？（3）第二组数据的频数5指什么呢？（4）如果每组数据在本组中分布较为均匀，比组数据的平均值和组中值有什么关系.（5）计算平均载客量.2.为了鉴定某种灯泡的质量，对其中100只灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：使用寿命/时600X10001000X14001400X18001800X22002200X2600灯光数/个1019253412求这些灯泡的平均使用寿命.四、问题导学、展示交流1.下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄：年龄28X3030X3232X3434X3636X3838X4040X42频数43879112根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄.五、点拨升华、当堂达标1.阅读课本P128页下面的内容，尝试用计算器求加权平均数.2.完成P129页练习2题和P130页练习题.六、布置预习预习配套练习“数据的代表（2）”中1，2，3，5题.练习课主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.复习加权平均数的计算.2.复习根据频数分布直方图求加权平均数.【导学重点】做练习.【导学难点】识别数据与权.【学法指导】类比.【课前准备】加权平均数.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.加权平均数.2.频数分布直方图中求加权平均数.二、检查预习、自主学习展示预习成果.这些题都与加权平均数有关，要分清数据和它的权.三、教师引导为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，在同等条件下，教练给两名同学安排了一次射击试验，每人打10发子弹.下面是两名同学各自的射击情况记录（其中乙射中7、10环的记录被污染，但教练得这两个数均不为0发）.甲环数568910次数41221乙环数568910次数322（1）求甲同学在这次测验中的平均数.（2）根据这次测验，你认为选谁参加比赛较合适？说明理由.四、问题导学、展示交流讨论上面的问题.第（2）题，先想想乙射中7环和10环的次数可能分别为多少，再计算这两种情况下乙的加权平均数，然后与甲比较.五、点拨升华、当堂达标1.完成配套练习“数据的代表（2）”中6，7题.六、布置预习预习下一节，弄懂中位数和众数的概念，完成P131页练习题.【教后反思】中位数和众数（1）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.认识中位数和众数，并会求出一组数据中的众数和中位数。2.理解中位数和众数的意义和作用。它们也是数据代表，可以反映一定的数据信息，帮助人们在实际问题中分析并做出决策。3.会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。【导学重点】认识中位数、众数这两种数据代表.【导学难点】利用中位数、众数分析数据信息做出决策.【课前准备】中位数、众数的相关资料.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.会求出一组数据中的众数和中位数。2.会利用中位数、众数分析数据信息做出决策。二、检查预习、自主学习1.数据8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8的中位数是 ，众数是 .2.一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 . 3.数据92、96、98、100、X的众数是96，则其中位数和平均数分别是 、 .三、教师引导1.在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手的成绩（单位：分）如下：136 140 129 180 124 165146 145 158 175 165 148（1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？（2）一名选手的成绩是142分，她的成绩如何？2. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：尺码/厘米2222.52323.52424.525销售量/双12511731你觉得这家鞋店进哪种尺码的鞋子？四、问题导学、展示交流讨论上面的问题.五、点拨升华、当堂达标1.完成P131和132页练习题.2.某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的销售金额，统计了这15个人的销售量如下（单位：件）：1800 510 250 250 210210 150 210 150 120120 210 250 210 150（1）求这15个销售员该月销量的中位数和众数.1匹1.2匹1.5匹2匹3月12台20台8台4台4月16台30台14台8台（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件，你认为合理吗？如果不合理，请你制定一个合理的销售定额并说明理由。3.某商店3、4月份出售某一品牌各种规格的空调，销售台数如表所示：根据表格回答问题：（1）商店出售的各种规格空调中，众数是多少？（2）假如你是经理，现要进货，6月份在有限的资金下进货单位将如何决定？4.完成P132页练习1题.六、布置预习1.完成练习2题，下节课前展示在小黑板上.2.预习下一节，弄懂例题，把不懂的问题出示在小黑板上.【教后反思】中位数和众数（2）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表。2.通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。3.能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。【导学重点】了解平均数、中位数、众数之间的差异.【导学难点】灵活运用这三个数据代表解决问题.【学法指导】数据统计.【课前准备】社会调查.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异。2能灵活应用这三个数据代表解决实际问题。二、检查预习、自主学习展示预习成果。1.第（1）题的三小问，分别考查哪个代表性数据？2.哪个数据作为目标，才是较高的？3.大约一半人的销售额在哪个代表性数据以上？4.课本中为什么要进行数据的整理？三、教师引导1.阅读P134页“归纳”，回答气泡图中的问题.2.平均数计算要用到所有的数据，它能够充分利用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大.众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，这是它的一个优势，中位数的计算很少也不受极端值的影响.平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势.四、问题导学、展示交流1.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁）甲群：13 13 14 15 15 15 16 17 17乙群：3 4 4 5 5 6 6 54 57（1）甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是 。（2）乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。其中能较好反映乙群游客年龄特征的是 。2.在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：得分5060708090100110120人数2361415541分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.五、点拨升华、当堂达标1.判断题： （正确的打“”，不正确的打“”）给定一组数据，这组数据的平均数一定只有一个 （ ）给定一组数据，这组数据的中位数一定只有一个 （ ）给定一组数据，这组数据的众数一定只有一个 （ ）给定一组数据，这组数据的平均数一定位于最大值和最小值之间 （ ）给定一组数据，这组数据的中位数一定等于最小值和最大值的算术平均数. （ ）给定一组数据，如果找不到众数，那么众数一定就是0 （ ）2.右面的扇形图描述了某种运动服的S号，M号，L号，XL号，XXL号在一家商场的销售情况，请你为这家商场提出进货建议。六、布置预习预习习题20.1中13题.练习课主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.复习众数和中位数.2.用平均数、众数、中位数的知识解决实际问题.【导学重点】做练习.【导学难点】灵活运用所学知识解决实际问题.【学法指导】类比.【课前准备】平均数、众数、中位数.【导学流程】一、呈现目标、明确任务解决实际问题.二、检查预习、自主学习展示预习成果.重点说说数据和它的权.三、教师引导上面的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况：请找出这些工人日加工零件数的平均数、中位数和众数，并解释它们的含义.四、问题导学、展示交流独立完成习题20.1中4题.五、点拨升华、当堂达标1.完成5，6题.主要思考这些问题考查了哪些特征数，再解决问题.2.完成7题.这是一个开放性问题，可以从平均数、众数和中位数等角度进行研究，些外可以研究其它的相关数量.3.某饮食公司为一学校提供午餐，有3元、4元和5元三种价格的饭菜供师生选择（每人限定一份）右图是5月份的销售情况统计图，这个月一共销售了10400份饭菜，那么师生购买午餐费用的平均数、中位数和众数各是多少?六、布置预习1.分组完成8题.2.预习下一节，弄懂极差，完成练习，展示在小黑板上.【教后反思】极差主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量.2.会求一组数据的极差.【导学重点】会求一组数据的极差.【导学难点】本节课内容较容易接受，不存在难点.【课前准备】查阅极差.【导学流程】一、呈现目标、明确任务求极差.二、检查预习、自主学习1.极差的定义，它反映的平均水平还是波动情况？2.一组数据3、-1、0、2、的极差是5，且为自然数，则= .3.下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差三、问题导学、展示交流1.一组数据：473,865,368,774,539,474的极差是 ，一组数据1736,1350,-2114,-1736的极差是 .2.一组数据, 的极差是8，则另一组数据2 +1、2 +1，2 +1的极差是 .四、点拨升华、当堂达标1.完成练习题.2.已知样本9.9，10.3，10.3，9.9，10.1，则样本极差是 .3.在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2，3，5，10，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，-5，那么这个小组的平均成绩是 .3.已知一组数据2.1，1.9，1.8，X，2.2的平均数为2，则极差是 .4.若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是 ，极差是 .5某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）90，95，87，92，63，54，82，76，55，100，45，80计算这组数据的极差.这个极差说明什么问题？五、布置预习1.完成配套练习“数据的波动（1）”中的题目.2.预习方差，弄懂计算公式，完成练习1题.方差（1）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.了解方差的定义和计算公式。2.理解方差概念的产生和形成的过程。3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。【导学重点】方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.【导学难点】理解方差公式.【学法指导】类比.【课前准备】方差的理解.【导学流程】一、呈现目标、明确任务1.方差的定义和计算公式.2.用方差比较两组数据的波动大小.二、检查预习、自主学习1.检查方差的定义.2.一组数据为2、0、-1、3、-4的方差为 .三、教师引导在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下：甲队 26 25 28 28 24 28 26 28 27 29乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26（1）两队参赛选手的平均年龄分别是多少？（2）你能说说两队参赛选手年龄波动的情况吗？为了直观地看出年龄分布情况，我们画成下面的图：从图中可以看出，哪队选手的年龄与其平均年龄偏差较大？四、问题导学、展示交流用什么量来表示这数据波动的大小呢？统计中经常采用下面的方法：设有个数据，,各数据与它们的平均数的差的平方分别是， ,，我们它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.阅读课本P140页例1上面的课文，理解方差的计算.五、点拨升华、当堂达标1.讨论P140页的例1，看看什么不懂的问题.例如,.2.学习用计算器求方差的方法，进行交流.3.完成练习2题和习题20.2中1题.六、布置预习预习剩余的内容，完成练习题.方差（2）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.继续熟悉方差的计算.2.学习用样本方差估计总体方差，体会它的合理性.【导学重点】方差的计算.【导学难点】方差的计算.【学法指导】类比，推广.【课前准备】方差的计算.【导学流程】一、呈现目标、明确任务用样本方差估计总体方差.二、检查预习、自主学习展示预习成果.重点在组内交流做法，在组间交流结果.三、教师引导自学课本P142页内容，学习用样本方差估计总体方差的方法，讨论解决不懂的问题.四、问题导学、展示交流一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg）甲：402，452，494.5，408.5，459.5，411，456， 500.5乙：428，466，465， 426.5，436， 455，448.5，459哪个品种的产量比较稳定？五、点拨升华、当堂达标1.小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒）如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？小爽10.810.911.010.711.111.110.811.010.710.9小兵10.910.910.810.811.010.910.811.110.910.8测试次数12345小明小兵2.小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表21.3.2所示请填写表格，并用计算器计算小明和小兵成绩的方差.六、布置预习预习习题20.2中剩余题目，完成3题.练习课主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.复习极差和方差的计算与运用.2.体会方差在统计中的运用.【导学重点】做练习.【导学难点】方差的熟练计算.【课前准备】方差的计算.【导学流程】一、呈现目标、明确任务复习极差和方差的计算.二、检查预习、自主学习展示预习成果.三、教师引导完成习题20.2中2，4题.四、点拨升华、当堂达标1.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的 ，它反映了这组数据的 。2.下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，则这些最高气温的极差是_.日期5月28日5月29日5月30日5月31日6月1日6月2日6月3日最高气温262730282729333.如果样本方差，那么这个样本的平均数为 ，样本容量为 .六、布置预习预习本章复习题，完成13题.【教后反思】小结主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.复习巩固平均数、中位数、众数、极差、方差的概念与意义.2.综合运用上述知识复习解决具体问题.【导学重点】用方差衡量一组数据的平均水平与波动情况.【导学难点】利用一组数据的五组量（3个平均量和2个波动量）做出决策.【学法指导】及时复习，周期复习的有效结合.【课前准备】做好预习题.【导学流程】一、呈现目标、明确任务利用一组数据的五组量（3个平均量和2个波动量）做出判断与决策.二、检查预习、自主学习小组展示预习成果，说说这些考查了数据的平均量还是波动量.三、教师引导1.加权平均数：一般说来，如果在n个数中，出现 次，出现 次，出现次，则 ,其中、叫 。2.中位数：将一组数据 排列，处于 位置的数.3.众数：一组数据中 的数据.4.极差： 的差。5.方差：表示一组数据偏离 的情况，标准差是方差的算术平方根.数据的代表数据的波动平均数中位数众 数极差方差用样本估计总体用样本平均数估计总体平均数用样本方差估计总体方差6.本章知识结构：四、问题导学、展示交流1.独立完成复习题20.2中4题.2.讨论57题.5题，考查方差的计算.6题，从平均数和方差两方面分析了两种股票在这段时间内的涨跌变化情况.7题，要分清数据和它们的权.五、点拨升华、当堂达标3.完成下面的练习.（1）已知一组数据为0，1，5，7，且这组数据的中位数是5，那么x的取值为（ ）A. 5 B. 5 C. 5 D. 5（2）甲乙丙丁四支足球队在全国甲级联赛中进球数分别为：9，9，7，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是()A10 B9 C8 D7（3）某生在一次考试中，语文、数学、英语三门学科的平均分为80分，物理、政治两科的平均分为85，则该生这5门学科的平均分为 。六、布置预习以小组为单位，完成复习题20中8题.数学活动（一）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.通过数学活动，探究比例的性质.2.通过探究性问题，训练思考和解决问题的能力.【导学重点】进行三个数学活动.【导学难点】活动2和活动3.【学法指导】合作、探究.【导学流程】一、呈现目标、明确任务解决几个有趣的问题.二、教师引导活动一、探究比例的基本性质设,都不等于0，并且（即,成比例），根据分式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个式子之间有什么关系.（1）和； （2）和；（3）和； （4）和(,).活动二、计算长度现有铁丝和铜丝各一捆（可以称出每捆重多少），已知铁丝和铜丝的截面积分别是cm和 cm，请你设计出一个方案，不用直接测量长度，就能计算出铁丝和铜丝的长度差.活动三、设计镜框现在要制作一个长方形（或正方形）镜框，使镜框四周围成的面积为1m2.请你设计出一个方案，使镜框的周长最小，并说明这样设计的理由. 三、点拨升华、当堂达标活动一，可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明.活动二，铁的密度为7.8g/cm3，铜的密度为8.9g/cm3.活动三，设镜框一边长为 cm,另一边为 cm，考虑为何值时周长m最小.数学活动（二）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.通过数学活动，探究反比例函数在生活中的体现.2.培养学生的合作探究能力.【导学重点】进行两个数学活动.【导学难点】活动2.【学法指导】合作探究.【导学流程】一、呈现目标、明确任务解决两个有趣的问题，看看它与反比例函数有什么关系.二、教师引导活动一、请同学们完成下表，再按照表中的数据在纸上画出10个面积相等的长方形，其中A为10个长方形的公共角.长/ cm246810宽/ cm1097531在画完10个长方形后，取A的10个对角的顶点，然后把这10个顶点用平滑的曲线连接起来.活动二、如右图，取取一根长100厘米的匀质木杆，用细绳大木杆的中点O处将其吊起来，在中点的左侧距离中点25厘米处挂一个重9.8牛的物体，在中点右侧用一个弹簧称向下拉.改变弹簧称与中点的距离L（单位：厘米），看弹簧称的示数F（单位：牛）有什么变化，填写下表：L/厘米5101520253035404550F/牛以L为横坐标，以F为纵坐标建立直角坐标系，在坐标系内描出以上点，用平滑曲线连接起来.三、点拨升华、当堂达标活动一，这条曲线是反比例函数图象的一支吗？活动二，这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么 ？点（50，4.9）在这条曲线上吗？数学活动（三）主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】1.展示与研究勾股定理的证明方法.2.设计一个测量风筝高度的方案.【导学重点】进行两个活动.【导学难点】活动1.【学法指导】合作探究.【课前准备】搜集勾股定理的证明方法.【导学流程】一、呈现目标、明确任务研究一些勾股定理的证明方法和勾股定理的应用.二、教师引导活动一、证明勾股定理的方法很多.大家把自己搜集来的方法展示给小组成员，并进行研究与交流.（见附.）活动二、小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮帮他们吗？四、点拨升华、当堂达标活动二，可以构造直角三角形，风筝的竖直高度、放风筝的点到风筝正下方之间的距离为直角边，风筝线为斜边.附：勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为，再做三个边长分别为、的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是+，所以面积相等. 即，整理得.【证法2】（邹元治证明）以、为直角边，以为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为的正方形. 它的面积等于2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为+的正方形，它的面积等于. . .【证法3】（赵爽证明）以、为直角边（）， 以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. . .【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. . .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 .同理可证，CDB ACB，从而有 . ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 = ， = . 把代入，得= = . .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 .过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR.又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即. ，又 ， =，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点C在B上，所以AC是B 的切线. 由切割线定理，得= ，即， .【证法12】（利用多列米定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作ADCB，过点B作BDCA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b， ，即 ， .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtABC的内切圆O，切点分别为D、E、F（如图），设O的半径为r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. 假设，即假设 ，则由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC和ACB中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB.在CDB和ACB中， B = B， 若BD：BCBC：AB，则CDBACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90.这与作法CDAB矛盾. 所以，的假设不能成立. .【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形