人教A版必修三 1.3　算法案例 学案.doc

1.3算法案例学习目标：1.会用辗转相除法与更相减损术求两数的最大公约数(重点、易混点)2.会用秦九韶算法求多项式的值(重点)3.会在不同进位制间进行相互转化(难点)自 主 预 习探 新 知1辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数(2)更相减损术更相减损术是我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两数最大公约数的方法其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用2约简；若不是，执行第二步第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数2秦九韶算法把一个n次多项式f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式：f(x)(anxan1)xan2)xa1)xa0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1anxan1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0，这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法3进位制(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统“满 进一”就是 进制， 进制的基数是 .(2)将 进制数化为十进制数的方法是：先把 进制数写成各位上的数字与 的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果(3)将十进制数化为 进制数方法是：除 取余法即用 连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出就是相应的 进制数基础自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用辗转相除法与更相减损术都可以求两个正整数的最大公约数()(2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了运算效率()(3)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大()答案(1)(2)(3)2在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16124,1248,844.由此可以看出12和16的最大公约数是() 【导学号：49672108】a4b12c16 d8a根据更相减损术的方法判断3下列有可能是4进制数的是()a5123 b6542c3103 d4312c4进制中逢4进1，每位上的数字一定小于4.4已知多项式f(x)4x53x42x3x2x，用秦九韶算法求f(2)等于() 【导学号：49672109】a b.c. daf(x)(4x3)x2)x1)x1)x，f(2).合 作 探 究攻 重 难求最大公约数求228与1995的最大公约数思路探究求两个正整数的最大公约数可以用辗转相除法，也可以用更相减损术解法一：(辗转相除法)1 9958228171,228117157,171357，所以228与1 995的最大公约数为57.法二：(更相减损术)1 9952281 767,1 7672281 539，1 5392281 311,1 3112281 083，1 083228855,855228627，627228399,399228171，22817157,17157114，1145757.所以228与1 995的最大公约数为57.规律方法辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法.跟踪训练1用辗转相除法和更相减损术求1 515与600的最大公约数，需要运算的次数分别为()a4,15b5,14c5,13 d4,12b辗转相除法：1 5156002315；6003151285,315285130,28530915,30152，故最大公约数为15，且需计算5次用更相减损术：1 515600915,915600315,600315285,31528530,28530255,25530225,22530195,19530165,16530135,13530105,1053075,753045,453015,301515.故最大公约数为15，且需计算14次秦九韶算法已知一个5次多项式为f(x)4x52x43.5x32.6x21.7x0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x5时的值. 【导学号：49672110】思路探究可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算解将f(x)改写为f(x)(4x2)x3.5)x2.6)x1.7)x0.8，由内向外依次计算一次多项式，当x5时的值：v04；v145222；v22253.5113.5；v3113.552.6564.9；v4564.951.72 826.2；v52 826.250.814 130.2.所以当x5时，多项式的值等于14 130.2.规律方法1.用秦九韶算法求多项式f(x)当xx0的值的思路为：(1)改写；(2)计算(3)结论f(x0)vn.2.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题(1)要正确将多项式的形式进行改写.(2)计算应由内向外依次计算.(3)当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充.跟踪训练2用秦九韶算法计算多项式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4时的值时，v3的值为()a144 b136c57 d34b根据秦九韶算法多项式可化为f(x)(3x5)x6)x0)x8)x35)x12.由内向外计算v03；v13(4)57；v27(4)634；v334(4)0136.进位制及其转化探究问题1数学上通常使用什么进位制？它的原理是什么？提示：十进制十进制的原理是满十进一一个十进制正整数n可以写成an10nan110n1a1101a0100的形式，其中an，an1，a1，a0都是0至9中的数字，且an0.例如36531026105.2你还知道哪些进位制？它们与目前我们使用的进位制数之间能否转化？提示：(1)二进制使用0和1这两个数字，基数为2.(2)八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字，基数为8.(3)十六进制使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，a，b，c，d，e，f这十六个符号，基数为16.其中a，b，c，d，e，f分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15.它们与十进位制数之间可以转化，两个非十进制数之间也可以以十进制作“桥梁”，进行相互转化3不同的进位制数如何区分？提示：一般地， 进制数的原理是满 进一， 进制数一般在右下角处标注( )，以示区别例如270(8)表示270是一个8进制数但十进制一般省略不写把“五进制”数1 234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数. 【导学号：49672111】思路探究 进制化十进制时，利用求各位上的数与 的幂的乘积后再相加的方法，十进制化为其他进制可采用除 取余法解1 234(5)153252351450194，而1 234(5)194302(8)母题探究：1.(变条件)210(6)化成十进制数为_85化成七进制数为_78151(7)210(6)2621678，所以85151(7)2(变结论)把1234(5)化成七进制数为_365(7)1234(5)153252351450194.而1 234(5)194365(7)规律方法把一个非十进制转化为另一种非十进制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除 取余法，把十进制数转化为 进制数.而在使用除 取余法时要注意以下几点：(1)必须除到所得的商是0为止；(2)各步所得的余数必须从下到上排列；(3)切记在所求数的右下角标明基数.当 堂 达 标固 双 基1用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为()a4b3c5 d6b12072148,7248124,48242.2用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_. 【导学号：49672112】先分别除以2，得到18与67.36与134都是偶数，第一步应先除以2，得到18与67.3用秦九韶算法求f(x)2x3x3当x3时的值v2_.19f(x)(2x0)x1)x3，v02，v12306，v263119.4将八进制数123(8)化为十进制数，结果为_. 【导学号：49672113】831822813806416383.5用秦九韶算法求多项式f(x)8