第2节　圆与方程.doc

第2节圆与方程【选题明细表】知识点、方法题号确定圆的方程1,2,5,12点与圆的位置关系3,6,7与圆有关的最值问题8,14与圆有关的轨迹问题4,10圆的综合问题9,11,13基础巩固(时间:30分钟)1.以线段AB:x+y-2=0(0x2)为直径的圆的方程为(B)(A)(x+1)2+(y+1)2=2(B)(x-1)2+(y-1)2=2(C)(x+1)2+(y+1)2=8(D)(x-1)2+(y-1)2=8解析:直径的两端点分别为(0,2),(2,0),所以圆心为(1,1),半径为2,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选B.2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是(D)(A)(-,-2)(23,+)(B)(-23,0)(C)(-2,0) (D)(-2,23)解析:由题意知a2+4a2-4(2a2+a-1)0,解得-2a23.故选D.3.设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0a1,则原点与圆的位置关系是(B)(A)原点在圆上(B)原点在圆外(C)原点在圆内(D)不确定解析:由0a0,所以原点在圆外.故选B.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x+2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x0=2x-4,y0=2y+2,因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.5.(2018山西大学附属中学模块诊断)抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则交点确定的圆的方程为(D)(A)x2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y-1)2=4(C)(x-1)2+y2=1(D)(x-1)2+(y+1)2=5解析:抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0),(0,-3),由圆一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0得1-D+F=0,9+3D+F=0,9-3E+F=0,得D=-2,E=2,F=-3,圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.故选D.6.(2017安徽马鞍山二模)已知A(0,0),B(2,-4),C(4,2),线段AD是ABC外接圆的直径,则点D的坐标是.解析:设D(x,y),因为B(2,-4),C(4,2)在圆周上且AD是ABC外接圆的直径,所以kBAkBD=-1=-42-4-y2-x,kCAkCD=-1=242-y4-x,解得x=6,y=-2,所以点D的坐标是(6,-2).答案:(6,-2)7.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为.解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.半径r=|CA|=(2+1)2+12=10.故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.由题意知(m-2)2+(6)210,解得0m0是方程表示圆的(D)(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件解析:取A=C=4,D=2,E=2,F=1时,满足A=C0,D2+E2-4F0,但是4x2+4y2+2x+2y+1=0不表示圆;方程13x2+13y2+x+y+1=0表示圆,其中A=13,C=13,D=1,E=1,F=1,但不满足D2+E2-4F0.综上可知,选D.10.(2017河北邯郸模拟)若PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=60,则线段AB的中点的轨迹方程为(A)(A)(x-2)2+(y-2)2=1(B)(x-2)2+(y-2)2=2(C)(x-2)2+(y-2)2=3(D)x2+y2=1解析:设线段AB的中点为D,则由题意,PA=PB,APB=60,所以ACB=120,因为CB=2,所以CD=1,所以线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,所以线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1,选A.11.已知平面区域是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)为顶点三角形及内部,恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.因为OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.答案:(x-2)2+(y-1)2=512.过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为43的圆的方程为 .解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将P,Q点的坐标分别代入得4D-2E+F=-20,D-3E-F=10.令x=0,由得y2+Ey+F=0.由已知|y1-y2|=43,其中y1,y2是方程的两根,所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.解组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4,故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.答案:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.13.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.又直径|CD|=410,所以|PA|=210.所以(a+1)2+b2=40.由解得a=-3,b=6或a=5,b=-2,所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.14.导学号 94626199已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意 一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=22,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=|2+27-t|12+2222,解上式得,16-210t16+210,所