人教A版必修一 1. 3 函数的基本性质 奇偶性 教案.doc

函数的奇偶性【考点精讲】性 质定 义偶函数图象关于y轴对称；定义域关于原点对称。如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数f（x）就叫偶函数奇函数 图象关于原点对称；定义域关于原点对称；定义域中有零，则其图象必过原点，即f（0）=0。如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数f（x）就叫奇函数注意：在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是偶函数；（2）奇函数与偶函数之积是奇函数； 学_ _ （3）偶函数与偶函数之积是偶函数；（4）奇函数与奇函数的和（差）是奇函数；（5）偶函数与偶函数的和（差）是偶函数。【典例精析】 例题1 已知f（x）是偶函数，且在（0，+）上是减函数，判断f（x）在（，0）上是增函数还是减函数，并加以证明。思路导航：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明。答案：f（x）在（，0）上是增函数。证明如下：设x1x2x20，f（x1）f（x2）。由于f（x）是偶函数，因此f（x1）=f（x1），f（x2）=f（x2）。f（x1）f（x2），即f（x）在（，0）上是增函数。点评：利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题。例题2 若f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x（1x），求当x0时，函数f（x）的解析式。思路导航：将x0时f（x）的解析式转化到x0的区间上，这是解决本题的关键。由于f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=f（x）=（x）1（x） =x（1+x）； 当x=0时，f（0）=f（0），即f（0）=0。当x0时，f（x）=x（1+x）。答案：当x0时，f（x）=x（1+x）点评：判断分段函数的奇偶性时，应对x在各个区间上分别讨论，由x的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f（x）=f（x）或f（x）=f（x），从而判定其奇偶性。例题3 设f（x）在r上是偶函数，在区间（，0）上递增，且有f（2a2+a+1）f（3a22a+1），求a的取值范围。思路导航：要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键。答案：由f（x）在r上是偶函数，在区间（，0）上递增知f（x）在（0，+）上递减。2a2+a+1=2（a+）2+0，3a22a+1=3（a）2+0， 且f（2a22a+1）f（3a22a+1），2a2+a+13a22a+1， 即a23a0。 解得0a3。点评：该例题在求解过程中，要注意利用偶函数的对称性，一侧递增，一侧递减。【总结提升】复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：（1）若函数f（x）、g（x）、fg（x） 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x），y=f（u）的奇偶性得到y=fg（x） 的奇偶性的规律如下：函数奇偶性u=g（x）奇函数奇函数偶函数偶函数y=f（u）奇函数偶函数奇函数偶函数y=fg（x） 奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当u=g（x）和y=f（u）都是奇函数时，复合函数y=fg（x） 是奇函数。（2）若函数u=g（x）在区间a，b 上是单调函数，函数y=f（u）在g（a），g（b） 或g（b），g（a） 上也是单调函数，那么复合函数y=fg（x） 在区间a，b 上是单调函数，其单调性规律如下：函数单调性u=g（x）增函数 _ _ 增函数减函数减函数y=f（u）增函数减函数增函数减函数y=fg（x） 增函数减函数减函数增函数即当u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=fg（x） 为增函数；增减性相反时，y=fg（x） 为减函数。函数的奇偶性1. 下列命题中错误的是（）图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数奇函数的图象一定过原点偶函数的图象与y轴一定相交图象关于y轴对称的函数一定为偶函数a. b. c. d. 2. 已知f（x）x7ax5bx5，且f（3）5，则f（3）（）a. 15 b. 15c. 10 d. 103. 已知偶函数f（x）在区间0，）单调递增，则满足f（2x1）f的x取值范围是（）a. b. c. d. 4. 若f（x）ax2bxc（a0）为偶函数，则g（x）ax3bx2cx的奇偶性为_。5. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）g（x）x2x2，求f（x），g（x）的表达式。6. 函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，且f，求函数f（x）的解析式。7. 定义在（1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1a）f（1a2）0，求实数a的取值范围。函数的奇偶性1. d解析：f（x）为奇函数，其图象不过原点，故错；y为偶函数，其图象与y轴不相交，故错。2. a解析：解法1：f（3）（3）7a（3）5（3）b5（37a353b5）10f（3）105，f（3）15.解法2：设g（x）x7ax5bx，则g（x）为奇函数，f（3）g（3）5g（3）55，g（3）10，f（3）g（3）515.3. a解析：由题意得|2x1|，2x12x，x，选a.4. 奇函数解析：由f（x）ax2bxc（a0）为偶函数得b0，因此g（x）ax3cx，g（x）g（x），g（x）是奇函数。5. f（x）x22，g（x）x.解析：f（x）g（x）x2x2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）g（x）x2x2又f（x）g（x）x2x2，两式联立得：f（x）x22，g（x）x。6. f（x）。解析：因为f（x）是奇函数