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第四章定积分4 1 2定积分 复习回顾 曲边梯形面积求法 分割 如果是区间上的最小值 作和式 一般地 设函数在区间上连续 用分点 如果是区间上的最大值 则是曲边梯形面积的过剩估计值 则是曲边梯形面积的不足估计值 讲授新课 其中 叫作积分号 叫作积分的下限 叫作积分 的上限 叫作被积函数 叫作积分变量 叫作积分区间 基本概念 概念说明 2 用定义求积分的一般方法是 分割近似代替求和取极限 3 定积分的值与积分变量用什么字母表示无关 即有 曲边梯形面积 变速运动路程 变力做功 定积分的几何意义 o 之间各部分面积的代数和 在轴上 说明 一般情况下 定积分的几何意义 方的面积取正号 在轴下方的面积取负号 是介于轴 函数的图形以及直线 上方取正 下方取负 例 说明下列定积分所表示的几何意义 并根据 其意义求出定积分的值 1 2 3 4 o 1 解 1 中所示长方形的面积 表示的是图 由于这个长方形的面 积为2 所以 2 o 1 解 2 中所示梯形的面积 表示的是图 由于这个梯形的面 所以 1 2 2 积为 o 解 3 半径为1的半圆的面 表示的是图中所示 由于这个半圆 所以 o 1 1 1 的面积为 积 o 解 4 是图中所示三角形 表示的 所以 的面积之差 上方取正 下方取负 由于 定积分的基本性质 1 2 3 4 其中 2 3 叫作定积分的线性性质 4 叫作定积分对积分区间的可加性 性质1 性质4 补充规定 定积分的基本性质 推广1 推广2 练习2 用定积分表示抛物线y x2 2x 3与直线y x 3所围成的图形面积 小结 定积分的实质 特殊和式的逼近值 定积分的思想和方
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