广义积分概念引入的几何背景分析.doc

此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 广义积分概念引入的几何背景分析广义积分概念引入的几何背景分析 宋榕荣宋榕荣 摘要 我们在研究定积分时都有直观的几何意义 定积分的被积函数的区间为有 限区间 函数为该区间上的有界函数 当我们去掉这两个限制时 就得到广义积分 我们 就用它们之间的这种联系引入广义积分的几何背景 关键字 定积分 广义积分 几何背景 一 广义积分与定积分之间的区别和联系一 广义积分与定积分之间的区别和联系 1 形式上 定积分的区间是有限区间 即上下限都是有限实数 且定积分 的被积函数是有界函数 而广义积分的被积函数的区间是无穷的或函数无界 2 内容上 定积分的被积函数是有界连续函数 无穷区间 的广义积分 若 a lim b aab f x dxf x dx 存在 则广义积分收敛 否则发散 类似的有在定义在lim b ab f x dx a f x dx 上的广义积分的收敛发散性 同时还有定义在 上的广义积 b 分的收敛性 二 无穷区间上的广义积分的几何背景二 无穷区间上的广义积分的几何背景 无穷区间上的广义积分也就是被积函数的定义域无上限或无下限 这类的 广义积分在形式上可分为三种 我们用三个例子来加以说明 例 1 求曲线 f x 的下方 1 的右方 轴上方的平面区域面积 2 1 x xx O1 x a 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 分析 所求面积的区域如图所示 由于区域是不封闭的 故不可用定积分 直接求其面积 但所给区域是确定的 即坐标面上任何一点在该区域的内部 外部或边界上是明确的 在 x 1 的右侧做一条垂直于 x 轴的直线 x a a 1 则曲线 f x 1 a x 轴围成一个曲边梯形 阴影部分所示 其 2 1 x xx 面积用定积分表示为 要求其面积的不封闭区域可想象成右边界在无 1 a f x dx 穷远处的曲边梯形 该曲边梯形课由阴影部分曲边梯形的右边界 x a 沿 x 轴正 方向无穷远处平移得到 故其面积可从形式上类比到 而 1 a f x dx 1 f x dx 其实质为 对应于阴影部分曲边梯形的右边界 x a 向右 1 lim a a f x dx b 平移至无穷远处 故所求面积为 1 f x dx 1 lim a a f x dx 解 设曲线 f x 的下方 1 的右方 轴上方的平面区域的面积 2 1 x xx 为 A 则 A 1 a f x dx 1 1 lim f x d x dx 2 1 1 lim a a x dx lim a 1 x 1 a 1 lim a 1 a 1 所以曲线 f x 的下方 x 1 的右方 x 轴上方的平面区域的面积为 1 2 1 x 例 2 求曲线 f x 的下方 x 1 的左方 x 轴上方的平面区域的面积 2 1 x 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 0 1 x a 分析 所求面积的区域如图所示 由于区域是不封闭的 故不可用定积分 直接求其面积 但所给区域是确定的 即坐标面上任何一点在该区域的内部 外部或边界上是明确的 在 x 1 的左侧做一条垂直于 x 轴的直线 x a a0 函数 f x 在 a b 上可积 当趋向于 0 时 函数的广义积分为 由此可联想到广义积分的几何问 0 b f x dx 0 lim 0 b f x dx 题 如下图为无界函数 f x 的图像 f x 在 a b 上有意义 在 a 附近无界 曲线 f x 下方 x 轴上方 y b 右边的区域的面积为 A x b b a0 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 分析 我们将 x 0 向左平移 a b 此时问题就转化为定积分的问题 由 f x x x b 以及 x 轴围成的图形的面积 A 为 a b f x dx 当 a 趋向于 0 时 所求面积为 S 0 lim a b a f x dx 例 1 求曲线下方 直线右方 轴上方 轴左方的区域 2 1 f x x 1x xy 的面积 Y OX 1x a 分析 所求面积区域如图所示 由于为函数的无穷间断点 0 x 2 1 f x x 故所给区域不闭合 但平面区域是闭合的 即平面上的任一点在区域的内部 外部或边界上是明确的 由于区域不闭合 不能用定积分之直接表示其面积 在直线与之间做一条垂直于轴的直线 1 0 得一曲边梯1x 0 x xxa a 形 如阴影部分所示 其面积课表示为 需求面积的不封闭区域可 1 a f x dx 看成由阴影部分所示的曲边梯形的右边界从左侧向直线无限平xa 0 x 0 x 移得到 故不封闭区域的面积可形式上记为 其实质为 0 1 f x dx 或 即 1 0 lim a a f x dx 0 1 0 lim f x dx 0 1 f x dx 0 1 0 lim f x dx 解 设所求曲线下方 直线右方 轴上方 轴左方的 2 1 f x x 1x xy 区域的面积为 A 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 A 0 1 f x dx 1 0 lim a a f x dx 2 1 0 1 lim a a dx x 0 lim a 1 x 1 a 由上述计算结果可知发散 故所求区域的面积为 0 1 f x dx 例 2 求曲线下方 直线左方 轴上方 轴右方的区域 2 1 f x x 1x xy 的面积 分析 所求面积区域如图所示 由于为函数的无穷间断点 0 x 2 1 f x x 故所给区域不闭合 但平面区域是闭合的 由于区域不闭合 不能用定积分直 接表示其面积 在直线与之间作一条垂直于轴的直线 0 1 得0 x 1x xxa a 一曲边梯形 如阴影部分所示 其面积课表示为 需求面积的不封 1 a f x dx 闭区域可看成由阴影部分所示的曲边梯形的右边界从右侧向直线xa 0 x 无限平移得到 故不封闭区域的面积可形式上记为 其实质为0 x 1 0 f x dx 或 即 详解法同例 1 1 0 lim a a f x dx 1 0 0 lim f x dx 1 0 f x dx 1 0 0 lim f x dx Y OX x a 1 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 例 3 求函数 f x 下方 x 1 右方 x 1 左方 x 轴上方的区域面 2 1 x 积 0 x ax b 11 分析 所求面积如图所示 由为函数 f x 的无穷间断点知区0 x 2 1 x 域不封闭 故其面积不能用定积分来直接表示 直线将区域分成左右两个0 x 部分 由例 1 例 2 分析知其对应面积分别表示为 1 1 00 11 0 lim f x dxf x dx 所求面积可形式上表示为 2 2 11 00 0 lim f x dxf x dx 1 1 f x dx 0 1 f x dx 故所求面积为 1 0 f x dx 1 1 f x dx 1 1 0 1 0 lim f x dx 2 2 1 0 0 lim f x dx 解 设函数 f x 下方 x 1 右方 x 1 左方 x 轴上方的区域面积 2 1 x 为 S 求得 S 为 即所求面积为 例 4 求曲线 f x 0 x0 x 轴 轴及 x 1 x a a 0 所构成 它绕 x 轴旋转一圈而成立体 求旋转体的体积 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 O 分析 由于该旋转体不封闭 不能直接用定积分来求 我们作一个垂直于 x 轴的平面去截取该图形 让无限趋向于平面 yoz 解 设平面为 则在区间 m a 内任何一个垂直与 y 轴的平面 0 y mm a x z Z 与这个旋转体相交的截面积 A y 22 xf y 由此我们得到该旋转体的体积为 V y 22 xf y 2 0 1 lim a mm dy y 六 广义积分的几何意义六 广义积分的几何意义 一 无穷区间上的广义积分的几何意义 一 无穷区间上的广义积分的几何意义 若在 或 上定义存在 在上时 b a f x dx a b a b f x0 定积分在几何上表示曲线 两条直线与轴所围成 b a f x dx yf x xa xb x 此文档收集于网络 如有侵权 请联系网站删除 此文档仅供学习与交流 的曲边梯形的面积 我们将直线无限向左平移 或将直线无限向右xa xb 平移 得到广义积分 或 的几何意义 b f x dx a f x dx 在上时 同理可得其几何意义 a b f x0 二 无界函数的广义积分的几何意义 二 无界函数的广义积分的几何意义 若在 上有定义 在点附近无界 且对任意小的 在 f x a ba0 上可积 则广义积分的几何意义是曲线 两条直线 ab b a f x dx yf x 与轴所围成的曲边梯形的面积 当时 即直线无限 xaxb x0 xa 趋向于 0 时 即得广义积分的几何意义 同理可得在 b 点附近无 b a f x dx f x 界的广义积分的几何意义 参考文献 1 宋开泰 黄象鼎 朱方生 微积分 武汉大学出版社 2005 2 谢盛刚 李娟 陈秋桂 微积分 科学出版社 2004 3 欧阳光中 姚允龙 数学分析 2002 4 王永安 广义积分 定积分在极限思想下的自然延伸 THETHE CONCEPTCONCEPT OFOF GENERALIZEDGENERALIZED INTEGRALINTEGRAL GEOMETRYGEOMETRY BACKGROUNDBACKGROUND ANALYSISANALYSIS AbstractAbstract We study the definite integral is intuitive geometric meaning the definite integral of the interval for finite interval the function to the interval on a bounded function