用相同的正多边形铺设地面.ppt

第9章多边形 9 3用正多边形铺设地面 1 课堂讲解 用相同的多边形密铺用多种多边形密铺 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 现在让我们回到本章一开始所提出的问题 某些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙 实际生活中 它们的形状大多是正多边形 就让我们从此开始 探究一下其中的奥秘吧 1 知识点 用相同的多边形密铺 使用给定的某种正多边形 它能否铺满地面 既不留下一丝空白 又不相互重叠呢 这显然与正多边形的内角大小有关 为了探索哪些正多边形能铺满地面 请根据下图完成表格 知1 导 知1 导 知1 导 由使用给定的某种正多边形 当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时 就可以铺满地面 如正六边形的每个内角为120 三个120 拼在一起恰好组成周角 所以全用正六边形瓷砖就可以铺满地面 如图所示 知1 导 参见图 1 2 你能说明为什么正三角形和正方形能铺满地面吗 知1 导 如图 正五边形不能铺满地面 正八边形也不能铺满地面 知1 讲 1 使用给定的某种正多边形 当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时 就可以铺满地面 2 用一种正多边形铺满地面的条件 1 这些正多边形的边长都相等 2 看正多边形的内角度数是否是360的因数 若是360的因数 则可以铺满地面 否则不可以铺满地面 知1 讲 内江 下列多边形中 不能够单独铺满地面的是 A 正三角形B 正方形C 正五边形D 正六边形 例1 导引 正五边形每个内角都是108 不是360 的因数 所以不能够铺满地面 C 总结 知1 讲 用同一种正多边形铺设地面 只能是正三角形 正方形和正六边形中的一种 除此之外的任何一种正多边形单独使用都不可能无缝隙 不重叠地铺满地面 特别地 相同的任意三角形或四边形也能铺满地面 1 威海 如图 用一种大小相等的正多边形密铺成一个 环 我们称之为环形密铺 如图 不是我们所说的环形密铺 请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形 知1 练 2 用一种大小相同的正多边形能密铺的条件是 A 内角的度数都是整数B 边数是3的整数倍C 内角能整除180 D 内角能整除360 知1 练 3 只用下面四种正多边形中的一种不能密铺的是 知1 练 2 知识点 用多种多边形密铺 知2 导 如图 用正三角形和正六边形也能铺满地面 类似的情况还有吗 我们还可以发现其他的情况 如下图 知2 导 现以下图为例 观察一下其中的关系 正十二边形的一个内角为 150 正六边形的一个内角为120 正方形的一个内角为90 三者之和恰为一个周角360 实际上这三种正多边形结合在一起恰好能铺满地面 知2 导 知2 讲 1 由多种正多边形组合起来铺满地面的条件 围绕一点拼在一起的各个正多边形的几个内角相加后和为360 2 用两种正多边形铺满地面的常见种类有 1 正三角形和正方形 2 正三角形和正六边形 3 正三角形和正十二边形 4 正方形和正八边形 3 用三种正多边形铺满地面的常见种类有 1 正三角形 正方形和正六边形 2 正方形 正六边形和正十二边形 知2 讲 用正三角形和正方形组合能否铺满地面 若不能 请说明原因 若能 有几种情况 例2 导引 正三角形每个内角是60 正方形每个内角是90 根据 每个顶点处 若干个正多边形的内角的和为360 列方程 判断是否有正整数解 知2 讲 解 设在一个顶点周围有m个正三角形的内角 n个正方形的内角 则有m 60 n 90 360 即2m 3n 12 正整数解为所以用正三角形和正方形铺地面 能铺满的可行方案只有一种 即在每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形 图案如图所示 总结 知2 讲 多边形能密铺必须满足绕一个点拼在一起的几个角的和是360 知2 讲 某生产瓷砖的厂家因工作失误 使一批正方形瓷砖的一角受到了同样的损害 如图所示 当有人决定将这批瓷砖全部报废时 一位总工程师设计了一个合理的方案 使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地面了 请画图表示出这位总工程师的方案 例3 导引 按相同的要求 相同的规格割去瓷砖破损的一角即可 来自 点拨 知2 讲 解 将所有瓷砖切成相同的形状 如图1所示 密铺方案如图2所示 图2 图1 总结 知2 讲 要使瓷砖能铺满地面 必须满足围绕一个点拼在一起的几个内角相加为360 知2 讲 从边长相等的正三角形 正方形 正六边形 正八边形 正十二边形中选出两种来铺设地面 求出铺满地面所用的正多边形的个数 画出草图 要求写出三种铺设方法 例4 导引 正三角形 正方形 正六边形 正八边形 正十二边形的内角分别是60 90 120 135 150 根据围绕在一个顶点处的内角和为360 列二元一次方程 求正整数解 知2 讲 解 此题答案不唯一 以下三种铺设方法供参考 1 用m个正三角形 n个正六边形 则60m 120n 360 即m 2n 6 因为m n为正整数 所以m 2 n 2或m 4 n 1 即用2个正三角形 2个正六边形或4个正三角形 1个正六边形可铺满地面 如图 知2 讲 2 用m个正三角形 n个正十二边形 则有60m 150n 360 即2m 5n 12 因为m n为正整数 所以m 1 n 2 即用1个正三角形 2个正十二边形可铺满地面 如图 3 用m个正方形 n个正八边形 则有90m 135n 360 即2m 3n 8 所以m 1 n 2 即用1个正方形 2个正八边形可铺满地面 如图 总结 知2 讲 解平铺地面问题的关键是 在一个顶点处几种图形平铺的角的度数和为360 1 下列美妙的图案中 是由正三角形 正方形 正六边形 正八边形中的三种密铺而成的为 知2 练 来自 点拨 2 用几种正多边形能密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个正多边形各内角的和恰好是 A 45 B 90 C 180 D 360 小李家装修地面 已有正三角形的地砖 现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖 用这两种地砖铺地面 则小李不应购买的地砖形状是 A 正方形B 正六边形C 正八边形