《线性代数》电子教案-第四章.ppt

线性代数 电子教案 第四章 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 一 n维向量的概念 n维向量 n维向量的定义 一一对应 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 注意 这里的 维 只是沿用一些几何术语 不一定有确定的几何形象 n 3时 二 n维向量空间的概念 三 向量组的概念 若干个同维数的列向量 或行向量 所组成的集合称为向量组 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 用向量组表示矩阵 用行向量组表示 用列向量组表示 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 用矩阵表示向量组 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 用矩阵表示向量组 已知m个n维列向量 可用矩阵表示成n m的矩阵 显然 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同 都是对应分量的线性运算 四 n维向量的线性运算 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 五 n维向量的线性运算性质 与矩阵的线性运算性质相同 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 n维向量 1 2 s 六 线性组合和线性表示 常数 k1 k2 ks 线性组合 k1 1 k2 2 ks s k1 1 k2 2 ks s 对n维向量 若存在常数 k1 k2 ks使得 则称 能由向量组 1 2 s线性表示 或称 能由向量组 1 2 s生成 注意 这里没有强调常数全不为零 4 1 1n维向量及其运算 例1 n维基本单位向量组 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 任何一个n维向量 都能由 1 2 n线性表示 事实上 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 已知 能由 1 2 s线性表示 第四章向量组的线性相关性 线性组合与线性方程组的关系 4 1 1n维向量及其运算 第四章向量组的线性相关性 根据线性表示的定义 必然有常数 x1 x2 xs使得 x1 1 x2 2 xs s 注意 按照定义 向量相等的实质上就是各对应分量相等 则上式等价于线性方程组 4 1 1n维向量及其运算 第四章向量组的线性相关性 写成矩阵形式为 Ax b 4 1 1n维向量及其运算 能由 1 2 s线性表示 方程组Ax 有解 第四章向量组的线性相关性 根据线性组合的定义 常数x1 x2 xs必然存在 因此线性方程组Ax b必然有解 故 由此 我们有理由推测向量的线性表示问题与线性方程组解的问题有更深入的联系 4 1 2向量组之间的关系 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 定义 设有两个同维向量组A a1 a2 am及B b1 b2 bl 如果B中每个向量都能由向量组A线性表示 则称向量组B能由向量组A线性表示 注意 向量组B能由向量组A线性表示 方程AX B有解 1 向量组的线性表示 矩阵的乘积Cm n Am sBs n 行向量 i ai1 1 ai2 2 ais s i 1 2 m 列向量 j b1j 1 b2j 2 bsj s j 1 2 n 向量组的线性表示 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 2 向量组的线性表示与矩阵乘积 简记为A 1 2 s C 1 2 n 若 j b1j 1 b2j 2 bsj s j 1 2 n 即 1 2 n 1 2 s 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 列向量组C能由A线性表示 简记为B 1 2 s C 1 2 m 若 i ai1 1 ai2 2 ais s i 1 2 m 即 B C 1 2 s 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 1 2 m 行向量组C能由B线性表示 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 思考 由于向量组可以用矩阵表示 而向量组B由A线性表示的实质是B中的每一个向量都可以用A中的向量通过线性运算得到 因此向量组线性表示的问题就转化为向量组A对应的矩阵经过变换化为向量组B所对应的矩阵的问题 注意 这里的变换和初等变换有所不同 因为向量组线性表示是允许系数全部为零的 而初等变换则是不能乘以为零的系数 但仍然可以理解为 行 列 向量组B能由A线性表示可记为B对应的行 列 向量矩阵是由A对应的行 列 向量矩阵左 右 乘变换矩阵得到的 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 3 向量组线性表示的传递性 A 1 2 B 1 2 3 C 1 2 1 1 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 3 1 4 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 B能由A线性表示 A 1 2 B 1 2 3 C 1 2 A DF C能由B线性表示 一般地 C能由A线性表示 若向量组B能由向量组A线性表示 同时向量组A能由向量组B线性表示 则称这两个向量组等价 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 4 向量组等价 显然 1 向量组A与其自身等价 反身性 2 若A与B等价 则B与A等价 对称性 3 若A与B等价且B与C等价 则C与A等价 传递性 例 设有两个向量组 I 1 1 1 2 1 1 3 2 1 II 1 1 0 2 1 2 即I可以由II线性表示 即II可以由I线性表示 故向量组I与II等价 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 5 矩阵等价与向量组等价的关系 矩阵A与B的行向量组等价 B的行向量组能由A的行向量组线性表示 A的行向量组能由B的行向量组线性表示 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 矩阵A与B的列向量组等价 B的列向量组能由A的列向量组线性表示 A的列向量组能由B的列向量组线性表示 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 注 矩阵A与B的行向量组等价 但列向量组不等价 矩阵C与B的列向量组等价 但行向量组不等价 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 4 1 1n维向量及其运算 第四章向量组的线性相关性 矩阵A和B行 或列 等价 矩阵A和B的行 或列 向量组等价 矩阵A和B行 或列 等价 矩阵A和B的行 或列 向量组等价 第四章向量组的线性相关性 两个关于方程组有解的定理 线性方程组AX b有解 R A R A b 矩阵方程AX B有解 R A R A B 4 1 2向量组之间的关系 第四章向量组的线性相关性 定理3 如果向量组B b1 b2 bl能由向量组A a1 a2 am线性表示 则 R b1 b2 bl R a1 a2 am 由定理2和3可知 定理 向量组A a1 a2 am和B b1 b2 bl 等价的充要条件是 R A R B R A B 其中矩阵A和B分别是向量组A和B构成的矩阵 4 1 2向量组之间的关系 4 2向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 一 基本概念 第四章向量组的线性相关性 定理 向量组线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余m 1个向量线性表示 第四章向量组的线性相关性 证明 4 2向量组的线性相关性 定理 向量组线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余m 1个向量线性表示 第四章向量组的线性相关性 本例说明 单位坐标向量组是线性无关的 4 2向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 设m个n维列向量组 a1 a2 am 线性相关 则其中存在一组不全为0的数x1 x2 xm 满足x1a1 x2a2 xmam 0 将上式用线性方程组表示 4 2向量组的线性相关性 二 向量组的线性相关性与线性方程组的联系 第四章向量组的线性相关性 向量组线性相关性的问题可等价于齐次线性方程组解的问题或者相应矩阵方程秩的问题 注意 这里的等价是严格意义上的 有非零解 只有零解 线性相关 线性无关 用矩阵表示 结合前面的定理可得 R A m R A m 4 2向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 例 4 2向量组的线性相关性 1 2 s线性相关 1T 2T sT线性相关 几个显然的结论 1 注意 不要混淆 矩阵A的列向量组线性相关 矩阵A的行向量组线性相关 与 第四章向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 2 只含有一个向量 的向量组线性相关 0 4 含有两个向量 的向量组线性相关 的分量成比例 5 当s n时 任意s个n维向量都线性相关 课本P89页例6 设 1 2 3线性无关 1 1 2 2 2 3 3 3 1 证明 1 2 3线性无关 3 含有零向量的向量组一定线性相关 第四章向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 证法一 利用线性相关性的概念 建立方程 判断有无非零解 证法二 利用线性相关性的概念 借助线性方程组相关性与齐次线性方程组解的关系 用矩阵代替证法一中的线性方程 4 2向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 思考问题 给向量组增加向量 其线性相关性是否改变 向量组线性无关 则其中部分向量构成的向量组线性相关性如何 向量组中向量的维数和向量的个数之间有什么联系 4 2向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am 1也线性相关 反言之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 m个n维向量组成的向量组 当维数小于向量个数时一定线性相关 特别地 n 1个n维向量一定线性相关 设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b一定能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 定理5 证明略 第四章向量组的线性相关性 4 2向量组的线性相关性 若一个向量组的部分向量线性相关 则该向量组线性相关 若向量组线性无关 则该向量组的任何部分组都线性无关 线性相关的向量组的部分向量构成的向量组的线性相关性不确定 含有零向量的向量组一定线性相关 推论 参考课本P90页例7进一步理解定理5 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 本节作业 课本P108 2 4 5 6 7 8 11 12 4 2向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 4 3向量组的秩 一 基本概念 第四章向量组的线性相关性 第四章向量组的线性相关性 思考 向量组的秩和向量组所对应的矩阵的秩是否相等 两者有何联系 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 上面的问题实际上就是 注 行向量的问题与列向量相同 由于向量组和矩阵之间可以相互表示 因此有理由推测向量组的秩和矩阵的秩相同 只是表达方式不同而已 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 下面来证明上述推测 已知矩阵A a1 a2 am 的秩R A r 由于矩阵与向量组的可以相互表示 因此矩阵A可以看作是列向量组A a1 a2 am对应的矩阵 A 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 若设A的一个r阶非零子式为Dr 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 记Dr所在的r列向量构成的向量组为B 显然B是A 的一个部分组 显然向量组B是A 的一个部分组 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 因Dr 0 向量组B对应的矩阵的秩R B r 而向量组B中向量个数亦为r 故由定理4可知向量组B线性无关 则向量组B构成的矩阵为 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 又因矩阵A的秩R A r 因此A 中任意r 1个向量构成矩阵的秩不会超过r 则根据定理4可知 A 中任意r 1个向量线性相关 故 RA R A 综上可得 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它行向量组的秩 定理6 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它行向量组的秩 定理6 定理6根进一步说明了矩阵和它的行 列 向量组的等价关系 以后我们讨论向量组问题是可以不再强调 向量组构成 或对应 的矩阵 这些概念 并将也可以向量组A a1 a2 am的秩直接记为R A 或R a1 a2 am 同时可以将矩阵 向量组 线性方程组的联系进一步加深 请大家课后自己体会 4 3向量组的秩 定理 秩为r的向量组 1 2 s一定有由r个向量构成的极大无关组 推论 秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 1 若向量组 1 2 t可由向量组 1 2 s线性表示 则 R 1 2 t R 1 2 s 推论1 1 若向量组 1 2 t可由向量组 1 2 s线性表示 并且t s 则向量组 1 2 t是线性相关的 第四章向量组的线性相关性 二 向量组秩的性质 证明 记A 1 2 s B 1 2 t 则存在C使得B AC 故R B R A 4 3向量组的秩 证 R B R A s t 即秩小于向量个数 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 2 若向量组 线性相关 其中 1 2 s是维数相同的列向量 1 2 s也是维数相同的列向量 则 1 2 s也是线性相关的 反之 若 1 2 s线性无关 则 也是线性无关的 1 1 2 2 s s 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 4 向量组的最大无关组不是唯一的 5 任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的最大无关组 6 向量组和它的最大无关组等价 3 一个向量组的任何两个极大无关组都是等价的 因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同 且等于这个向量组的秩 例 证明 n个n维列向量 1 2 n线性无关的充分必要条件是 任何一个n维列向量 都能由 1 2 n线性表示 证明 充分性 任何一个n维列向量 都能由 1 2 n线性表示 都能由 1 2 n线性表示 n R 1 n R 1 n n 1 2 n线性无关 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 证明 必要性 根据本章定理5可知 由于n 1个n维列向量总是线性相关的 所以 1 2 n 线性相关 又因为 1 2 n线性无关 根据本章定理5可知 都能由 1 2 n线性表示 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 例 证明 n个n维列向量 1 2 n线性无关的充分必要条件是 任何一个n维列向量 都能由 1 2 n线性表示 定理5 m个n维向量组成的向量组 当维数小于向量个数时一定线性相关 特别地 n 1个n维向量一定线性相关 若向量组 1 2 s线性无关 而 1 2 s 线性相关 则 一定能由 1 2 s线性表示 并且表示的方式是唯一的 第四章向量组的线性相关性 三 计算 理论依据 1 秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组 2 初等变换不改变矩阵的秩 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 列 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 B 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 B 第四章向量组的线性相关性 4 3向量组的秩 本节作业 课本P108 13 14 1 15 18 19 20 4 4向量空间 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 一 向量空间的概念 1 n维实 列 向量的全体 Rn x1 x2 xn T x1 x2 xn R 关于向量 即列矩阵 的加法和数乘运算满足如下8条基本性质 关于加法 1 交换律 2 结合律 3 0 4 关于数乘 5 1 6 k l kl 7 k l k l 8 k k k 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 2 设V是n维向量的集合 如果V非空 且对向量的加法及数乘封闭 即 注意 仅含有零向量0的集合 0 关于向量的线性运算也构成一个向量空间 我们称之为零空间 Rn就是一个向量空间 对加法和数乘封闭 则称V 实 向量空间 V k R 有 V k V 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 例10 检验下列集合是否构成向量空间 1 V x y 0 x y R 2 V x y z x y z R x y z 0 3 A Rm n b Rm b 0 KA Rn A 0 SB Rn A b 4 1 2 s Rn 称为由 1 2 s生成的向量空间 1 2 s称为生成元 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 二 向量空间的基与维数 设V是一个向量空间 1 2 r是V中一线性无关向量组 并且V中任一向量都能由 1 2 r线性表示 则称 有序 向量组 1 2 r是向量空间V的一组基 r称为V的维数 记为维 V 或dim V n维基本单位向量组就是Rn的一组基 dim Rn n 例11 求例10中的各向量空间的基与维数 零空间没有基 规定dim 0 0 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 若向量组 1 2 r是向量空间V的一组基 则向量空间V可以表示为 V x k1 1 k2 2 kr r k1 kr R 即V是基所生成的向量空间 请判断命题 向量空间的基与向量空间是等价的 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 定理 向量组 1 2 s的任一极大无关组都是L 1 2 s 的一组基 故dim L 1 s R 1 s 特别地 设矩阵A Rn s A1 A2 As依次为矩阵A的s个列向量 则称L A1 A2 As 为矩阵A的列空间 dim L A1 A2 As R A 注意 上面的定理告诉我们一种求向量空间基的方法 可以用求向量组的最大无关组的做法求向量空间的基 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 求L A1 A2 A3 A4 的一组基和维数 问题 对一个含有无限多个向量的向量空间 不可能写出所有的向量 此时如何求该向量组的基 考虑一下向量组等价的含义 只要能够找到含有限个向量的与原向量空间等价的向量组 则该向量组的任意一个最大无关组就是向量空间的基 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 解 可见dimL A1 A2 A3 A4 2 A1 A2是L A1 A2 A3 A4 的一组基 注 此外A1 A3也是L A1 A2 A3 A4 的一组基 还有A1 A4 事实上 对于这个例子 除了A3 A4以外 A1 A2 A3 A4中任意两个向量都构成L A1 A2 A3 A4 的一组基 第四章向量组的线性相关性 4 4向量空间 三 向量在基下的坐标 设V是一个向量空间 1 2 r是V的一组基 对 V 唯一的一组有序实数k1 k2 kr使得 k1 1