人教A版必修五 第二章 §2.3　等差数列的前n项和 学案.doc

高考资源网（） 您身边的高考专家2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与sn的关系求an.知识点一等差数列前n项和公式思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设sn123(n1)n，又snn(n1)(n2)21，2sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2snn(n1)，sn.梳理等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式snsnna1d知识点二a1，d，n，an，sn知三求二思考在等差数列an中，若已知d，n，an，如何求a1和sn?答案利用ana1(n1)d代入d，n，an，可求a1，利用sn或snna1d可求sn.梳理(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点三数列中an与sn的关系思考已知数列an的前n项和snn2，怎样求a1，an?答案a1s11；当n2时，ansnsn1n2(n1)22n1，又当n1时也适合上式，所以an2n1，nn*.梳理对于一般数列an，设其前n项和为sn，则有an特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.(2)若由ansnsn1(n2)中令n2求得a1与利用a1s1求得的a1相同，则说明ansnsn1(n2)也适合n1的情况，数列的通项公式用ansnsn1表示.若由ansnsn1(n2)中令n2求得的a1与利用a1s1求得的a1不相同，则说明ansnsn1(n2)不适合n1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列an的前n项和为sn，则ansnsn1，nn*.()2.等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍.()类型一等差数列前n项和公式的应用例1已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解方法一由题意知s10310，s201220，将它们代入公式snna1d，得到解方程组得snn463n2n.方法二s10310，a1a1062，s201220，a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.snna1d3n2n.反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，sn，知其三能求其二.跟踪训练1在等差数列an中，已知d2，an11，sn35，求a1和n.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解由得解方程组得或例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60，a250(100050)1%59.5，a1050(1000950)1%55.5，即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有s20201105，即全部付清后实际付款11051501255.反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解(1)设n分钟后第1次相遇，由题意，得2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，得2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去).所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.类型二由sn与an的关系求an例3已知数列an的前n项和为snn2n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？考点an与sn关系题点由sn公式求an解根据sna1a2an1an可知sn1a1a2an1(n1，nn*)，当n1时，ansnsn1n2n2n，当n1时，a1s1121，也满足式.数列an的通项公式为an2n.an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列.引申探究若将本例中前n项和改为snn2n1，求通项公式.解当n2时，ansnsn12n.当n1时，a1s1121不符合式.an反思与感悟已知前n项和sn求通项an，先由n1时，a1s1求得a1，再由n2时，ansnsn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.跟踪训练3已知数列an的前n项和sn3n，求an.考点an与sn关系题点由sn公式求an解当n1时，a1s13；当n2时，ansnsn13n3n123n1.当n1时，代入an23n1得a123.an1.已知等差数列an满足a11，am99，d2，则其前m项和sm等于()a.2300b.2400c.2600d.2500考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案d解析由ama1(m1)d，得991(m1)2，解得m50，所以s5050122500.2.记等差数列的前n项和为sn，若s24，s420，则该数列的公差d等于()a.2b.3c.6d.7考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案b解析方法一由解得d3.方法二由s4s2a3a4a12da22ds24d，所以20444d，解得d3.3.在一个等差数列中，已知a1010，则s19_.考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和与中间项的关系答案190解析s1919a101910190.4.已知数列an满足a12a2nann(n1)(n2)，则an_.考点an与sn关系题点由sn公式求an答案3(n1)解析由a12a2nann(n1)(n2)，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2).又当n1时，a11236也适合上式，an3(n1)，nn*.5.已知等差数列an中：(1)a1，d，sn15，求n及an；(2)a11，an512，sn1022，求d.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解(1)snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)4.n12，ana124.(2)由sn1022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qn*)；若mn2p，则anam2ap.3.由sn与an的关系求an主要使用an一、选择题1.已知数列an中，a11，anan1(n2，nn*)，则数列an的前9项和等于()a.27b.c.45d.9考点等差数列前n项和题点求等差数列前n项和答案a解析由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，s99191827.2.在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前100项的和为()a.10000b.8000c.9000d.11000考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案a解析由已知得anbn为等差数列，故其前100项的和为s10050(2575100)10000.3.在20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为()a.200b.100c.90d.70考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案b解析s10100.4.在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和s9等于()a.18b.27c.36d.45考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案c解析s9(a1a9)(a2a8)36.5.在等差数列an中，若s104s5，则等于()a.b.2c.d.4考点等差数列前n项和性质运用题点两等差数列和之比与项之比问题答案a解析由题意得10a1109d4，10a145d20a140d，10a15d，.6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()a.765b.665c.763d.663考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案b解析a12，d7,2(n1)7100，n15，n14，s1414214137665.7.在等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则s10等于()a.9b.11c.13d.15考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案d解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，an200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根.10.设sn为等差数列an的前n项和，若s33，s624，则a9_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案15解析设等差数列的公差为d，则s33a1d3a13d3，即a1d1，s66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.11.在等差数列an中，an2n3，前n项和snan2bnc(a，b，c为常数)，则abc_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案3解析因为an2n3，所以a15，snn24n，与snan2bnc比较，得a1，b4，c0，所以abc3.三、解答题12.已知等差数列an的前三项依次为a,4,3a，前k项和sk2550，求a及k.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解设等差数列an的公差为d，则由题意得(k51舍)a2，k50.13.已知数列an的所有项均为正数，其前n项和为sn，且snaan.(1)证明：an是等差数列；(2)求数列an的通项公式.考点an与sn关系题点由sn和an递推式求通项(1)证明当n1时，a1s1aa1，解得a13或a11(舍去).当n2时，ansnsn1(a2an3)(a2an13).所以4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0.因为anan10，所以anan12(n2).所以数列an是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知an32(n1)2n1.四、探究与拓展14.已知等差数列an的前n项和为sn，若a1a200，且a，b，c三点共线(该直线不过原点o)，则s200_.考点等差数列的前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案100解因为a，b，c三点共线(该直线不过原点o)，所以a1a2001，所以s200100.15.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为sn，且满足：