人教A版必修2 3.2.3　直线的一般式方程 学案.DOC

3.2.3直线的一般式方程学习目标：1.会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程(重点)2.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式(重点、难点)3.能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化(难点、易混点)自 主 预 习探 新 知直线的一般式方程1在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线方程axbyc0(其中a、b不同时为0)叫做直线方程的一般式2对于直线axbyc0，当b0时，其斜率为，在y轴上的截距为；当b0时，在x轴上的截距为；当ab0时，在两轴上的截距分别为，. 3直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列(3)x的系数一般不为分数和负数(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程思考：(1)当a，b同时为零时，方程axbyc0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？提示(1)当c0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当c0时，方程无解，方程不表示任何图象 故方程axbyc0，不一定代表直线，只有当a，b不同时为零时，即a2b20时才代表直线(2)不是当一般式方程中的b0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当c0时，直线过原点，不能化为截距式但其他四种形式都可以化为一般式基础自测1思考辨析(1)二元一次方程axbyc0(a，b不同时为0)可表示平面内的任何一条直线()(2)当c0时，方程axbyc0(a、b不同时为0)表示的直线过原点()(3)当b0，a0时，方程axbyc0表示的直线与y轴平行()(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()提示(1)(2)(3)当c0时，直线与y轴重合(4)当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式2直线2xy30的斜率k()a2 b2c da直线方程化为斜截式为y2x3，所以斜率k2.选a.3直线l过点(1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为_xy30由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：，整理得xy30.合 作 探 究攻 重 难直线的一般式方程根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是，经过点a(8，2)；(2)经过点b(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，3；(4)经过两点p1(3，2)，p2(5，4) 【导学号：07742232】解(1)由点斜式得y(2)(x8)，即x2y40.(2)由斜截式得y2，即y20.(3)由截距式得1，即2xy30.(4)由两点式得，即xy10.规律方法求直线的一般式方程的策略(1)当a0时，方程可化为x y0，只需求，的值；若b0，则方程化为xy0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.跟踪训练1(1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()a3x4y70b4x3y70c4x3y420d3x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()a b5 c d3(1)b(2)d(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有：b、c两项又yx14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有b项正确(2)令y0则x3.一般形式下的平行与垂直问题(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？思路探究：解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证解(1)法一：由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.法二：令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.m的值为2或3.(2)法一：由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5y40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：由题意知直线l1l2.(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.规律方法1利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：a1xb1yc10，直线l2：a2xb2yc20，(1)若l1l2a1b2a2b10且b1c2b2c10(或a1c2a2c10)(2)若l1l2a1a2b1b20.2与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbym0(mc)(2)与直线axbyc0垂直的直线方程可设为bxaym0.跟踪训练2已知直线l的方程为x2y10，点p的坐标为(1，2)(1)求过p点且与直线l平行的直线方程；(2)求过p点且与直线l垂直的直线方程 【导学号：07742233】解(1)设过p点且与直线l平行的直线方程为x2yk0，则12(2)k0，即k3，所以过p点且与直线l平行的直线方程为x2y30.(2)设过p点且与直线l垂直的直线方程为2xyb0，则21(2)b0，即b4，所以过p点且与直线l垂直的直线方程为2xy40.与含参数的一般式方程有关的问题探究问题1直线kxy13k0是否过定点？若过定点，求出定点坐标提示直线kxy13k0可化为y1k(x3)，由点斜式方程可知，该直线过定点(3,1)2若直线ykxb(k0)不过第四象限，应满足什么条件？提示若直线ykxb(k0)不过第四象限，则应满足(1)设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)若直线l不过第三象限，则a的取值范围为_(2)设直线l的方程为2x(k3)y2k60(k3)，根据下列条件分别确定k的值：直线l的斜率为1；直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0. 【导学号：07742234】(1)1，)把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1.所以a的取值范围为1，)(2)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为yx2.由题意得1，解得k5.直线l的方程可化为1.由题意得k320，解得k1.母题探究：1.典例(1)中若将方程改为“x(a1)y2a0(ar)”，其他条件不变，又如何求解？解(1)当a10，即a1时，直线为x3，该直线不过第三象限，符合(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零即解得a1.由(1)(2)可知a1.2若典例(1)中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？解把直线l化成斜截式，得y(1a)xa2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零即解得a2.规律方法直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标.(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.当 堂 达 标固 双 基1直线l：xy30的倾斜角为()a30 b60c120 d150c直线方程化为斜截式为yx3，斜率k，即tan ，又0，180)，120，选c.2已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()a第一、二、三象限b第一、二、四象限c第一、三、四象限d第二、三、四象限c直线axbyc即yx，ab0，bc0，斜率k0，直线在y轴上的截距0.故直线过第一、三、四象限选c.3过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是() 【导学号：07742235】ax2y10bx2y10c2xy20dx2y10a设所求直线方程为x2yc0，把点(1,0)代入可求得c1.所以所求直线方程为x2