人教A版必修五 正弦定理的推导和简单应用 学案.docx

1.1正弦定理第1课时正弦定理的推导和简单应用学习目标1.掌握正弦定理及其证明.2.能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题知识点一正弦定理思考1如图，在rtabc中，分别等于什么？答案c.思考2在一般的abc中，还成立吗？课本是如何说明的？答案在一般的abc中，仍然成立，课本采用边bc上的高adcsin bbsin c来证明梳理任意abc中，都有，这就是正弦定理知识点二解斜三角形解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程1正弦定理不适用于直角三角形()2在abc中，必有asin absin b()3在abc中，若ab，则必有sin asin b()类型一正弦定理的证明例1在钝角abc中，证明正弦定理考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过c作cdab，垂足为d，d是ba延长线上一点，根据正弦函数的定义知，sincadsin(180a)sin a，sin b.cdbsin aasin b.同理，.故.反思与感悟用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系，充分挖掘这些联系有助于理解更深刻，记忆更牢固跟踪训练1如图，锐角abc的外接圆o半径为r，证明：2r.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连结bo并延长，交外接圆于点a，连结ac，则圆周角aa.ab为直径，长度为2r，acb90，sin a，sin a，即2r.类型二正弦定理的应用命题角度1已知两角一边解三角形例2在abc中，已知a30，b60，a10，解三角形考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b10.又c180(3060)90.c20.反思与感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)因为三角形内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角跟踪训练2在abc中，已知a18，b60，c75，求b的值考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得a180(bc)180(6075)45.根据正弦定理，得b9.命题角度2已知两边及其中一边的对角解三角形例3在abc中，已知c，a45，a2，解这个三角形考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解，sin c，c(0，180)，c60或c120.当c60时，b75，b1；当c120时，b15，b1.b1，b75，c60或b1，b15，c120.引申探究若把本例中的条件“a45”改为“c45”，则角a有几个值？解，sin a.c2a，ca.a为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角a只有一个反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角；当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可，然后由三角形内角和定理求出第三个角，最后根据正弦定理求出第三条边跟踪训练3在abc中，若a，b2，a30，则c_.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案105或15解析由正弦定理，得sin b.b(0，180)，b45或135，c1804530105或c1801353015.1. 在abc中，一定成立的等式是_acos abcos b；asin bbsin a；acos bbcos a.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案解析由正弦定理，得asin bbsin a.2在abc中，sin asin c，则abc是_三角形(填“等腰”、“直角”、“锐角”、“钝角”)考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案等腰解析由sin asin c及正弦定理，知ac，abc为等腰三角形3在abc中，已知a8，b60，c75，则b_.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案4解析a45，由得b4.4在abc中，a，b，b，则a_.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案或解析由正弦定理，得sin a，又a(0，)，ab，ab，a或.5在abc中，已知a，sin c2sin a，则c_.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案2解析由正弦定理，得c2a2.1. 正弦定理的表示形式：2r，或a sin a，b sin b，c sin c( 0)2. 正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论一、填空题1在abc中，a5，b3，则sin asin b_.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案解析根据正弦定理，得.2在abc中，absin a，则b_.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案90解析由题意有b，则sin b1，又b(0，)，故b为直角3在abc中，若，则c_.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案45解析由正弦定理知，cos csin c，tan c1，又c(0，180)，c45.4在abc中，若a105，b45，b2，则c_.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2解析a105，b45，c30.由正弦定理，得c2.5在abc中，a15，b10，a60，则cos b_.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案解析由正弦定理，得，sin b.ab，ab，又a60，b为锐角cos b .6在abc中，已知a，a，b1，则c_.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案2解析由正弦定理，可得，sin b，由ab，得ab，b，b.故c，由勾股定理得c2.7在abc中，如果abc237，那么ab_.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案1解析由已知a30，b45，则absin 30sin 451.8在abc中，若a60，b45，bc3，则ac_.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2解析由正弦定理得，即，所以ac2.9在abc中，若c2b，则的取值范围为_考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案(1,2)解析因为abc，c2b，所以a3b0，所以0b，所以cos b1.因为2cos b，所以12cos b2，故1b.则下列三个不等式中成立的是_sin asin b；cos acos acos b.考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案解析ababsin asin b，故成立函数ycos x在区间0，上是减函数，ab，cos a，0basin，即sin acos b，同理sin bcos a，故成立二、解答题12已知在abc中，c10，a45，c30，求a，b和b.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解，a10.b180(ac)180(4530)105.又，b20sin 75205()13在abc中，a60，a4，b4，求b.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理，得sin b，ab，ab.b只有一解，且b(0，60)，b45.三、探究与拓展14在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，ax，b2，b45.若abc有两解，则x的取值范围是_考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案(2,2)解析因为abc有两解，所以asin bba，即xsin 452x，所以2x2.15已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，a80；(2)a2，b6，a30.考点用