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文档简介

4 2高斯 Gauss 消元法 1 交换两个方程 3 将一个方程的k倍加到另一个方程上 2 将某个方程k倍 称之为线性方程组的初等变换 对线性方程组进行等价 或同解 变形 一 线性方程组的初等变换 回代 求解得 启示 令 而未知量并不需要参与运算 事实上 从上述对线性方程组的求解过程中可知 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项 则对方程组的变换完全可以化为对矩阵的变换 引例 续2 1 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形 1 高斯消元法 2 通过回代求出相应的解 1 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形 2 高斯 若当消元法 2 再进一步化为行标准形 3 直接写出相应的解 二 高斯 Gauss 消元法 故方程组有惟一解 相应地 线性方程组变为 进一步 线性方程组变为 2 可知方程组有无穷多解 即 其中x2为自由未知量 k任意 即对任意的x2 有 解的三种可能情况 相应地 线性方程组的最后一个方程变为 这是一个矛盾方程 因此原方程组无解 对于给定的线性方程组AX b 利用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 对于给定的线性方程组AX b 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 相应地 线性方程组变为 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 1 第一种情况 方程组中出现矛盾方程 若 因此 方程组无解 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 1 第一种情况 若 方程组中出现矛盾方程 注 即 此时 方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 2 第二种情况 由克莱姆法则 方程组有唯一解 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 2 第二种情况 此时 方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩n 注 即 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 3 第三种情况 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 3 第三种情况 进一步化简 即将增广阵化为行标准形 可得 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 3 第三种情况 将其进行改写 即把至搬到方程的右边 可得 若dr 1 0且r n 方程组具有形式 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 3 第三种情况 当它们任意取值时 就得到方程组的无穷多个解 方程组有无穷多解 若dr 1 0且r n 三 线性方程组求解结果的一般性讨论 3 第三种情况 记 令 得到通解为 方程组有无穷多解 若dr 1 0且r n 三 线性方程组求解结果的一般性讨论
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