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浅谈高中数学中换元法的应用【摘要】换元法是高中数学中比较常见也很重要的一种数学方法，灵活地运用换元法对数学问题进行转换，从而使得问题能够迎刃而解。换元法可分为局部换元、均值换元和三角换元等，对换元法的应用的探究是教育发展的很重要的一个方向。【关键词】换元 转换 解题 数学方程1前言在解数学题时，用一个变量代替某个可以看成一个整体的复杂式子，进而使得问题得到了进一步的简化，这就称为换元法。换元法的实质是转化，依据是等量代换，关键是构造元以及设元，目的是变换变量，使得问题简单化，易于处理。事实上，换元法就是引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，然后对新变量求出某种结果，再代回求出关于原变量的结果。但是，换元法的的难点及关键是如何作出合理又正确的变量代换。教学中必须多用启发式，充分注意学生的分析思维过程，使学生知其然亦知其所以然，逐渐形成解题的技巧及能力。2.换元法的基本特点换元的基本思想就在于引入新变量，从而把零散的条件结合起来，挖掘出隐含的条件，从而有效的将条件与结论相联系，把陌生的条件转换成熟悉的形式，把复杂的计算和证明简单化。换元可以分为几个基本的方法，例如均值换元、局部换元以及三角换元等。2.1均值换元如遇到x+y=2S形式时，设x=S+t，y= S-t等。这是最基本的转换。具体的例题如:已知a，b为非负实数，M=a4+b4，a+b=1,求M的最值。可令a=1/2-t,b=1/2+t(0t1/2),代入M，化简有：M=2(t2+3/4)2-1，由二次函数性质知Mmin=1/8,Mmax=1.2.2.局部换元指的是在已知或未知的条件下，某个代数式多次出现，采用的方法就是用某个特定的字母或符号来代替，使得问题得到简单化，或者在复杂的条件下也可以通过变形。2.3 三角换元在去根号或转换为三角形式时，运用得比较广泛。方法主要是利用已知代数式里和三角知识里相关系的形式进行换元。如求函数y=的值域时，若x-1,1，设x=sin，sin-1,1，问题变成了熟悉的求三角函数值域。主要的解题思路是发现值域的联系，并有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2 =r2（r0）时，则可作三角代换x=rcos、y=rsin化为三角问题。3.几种换元法的应用例1 已知实数x、y满足x2+y2l求证:x2+2xy-y2解：设x=kcosa，y=ksina，k1，代入结论左端，即k2cos2a+k2sin2al,根据正弦(余弦)函数的有界性“cos2a+ sin2a=1”，则有k21,带入不等式x2+2xy-y2，从而可以求证。例2：已知.求证：.证明：由，可设.于是例3：已知，求的最大值。解:由，可设；由，可设.于是又当时，上式中等号成立。即的最大值是6.一般地，题目中若有条件，常设进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数，在坐标平面上总有惟一的对应点与之对应，设此点到原点的距离为，射线逆时针方向旋转到射线OA时，所转过的最小正角为，则。例4求函数的值域。解设，则，.在平面直角坐标系中，点是圆弧上的点，如图所示。，所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线，则P表示直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过点A时（直线），取最小值1，此时；当与圆弧相切时（直线），取最大值2，此时.所以函数的值域为.此题通过做的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由，可设则是三角换元，也可以解决问题。4.结语在高中数学中，换元法的重要地位的确是不容忽视的。正确又灵活的运用换元法，不仅仅可以将数学的各个方面充分的联系在一起，而且还可以不断地发掘学生的创新思维能力，培养他们的学习数学的兴趣，享受解题的乐趣。换元法的应用非常广泛，因为培养学生的思维扩散能力是数学教学的根本目的所在，善于运用方法解题是掌握数学的基础，而命题的连续简单转换是数学的解题的最好的方法。数学思想方法是数学基础知识的更高级别的范畴。善于应用数学思想方法去思考数学问题，让数学思维更具有创造力及想象力，灵活的运用换元法能将数学问题进行有效的转化以及化归，这样的解法更加简单、更加直观，是数学发展上的重要的研究方向。【参考文献】1姜昭.浅谈中学数学思想方法在课堂教学中的作用J.教育教学论坛, 2010,(30):78.2蒋志荣.浅谈不定积分运算中的灵活性J.湖北广播电视大学学报, 2011,(03):3