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文档简介
第2课时等差数列的性质1掌握等差数列的有关性质(重点、易错点)2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)基础初探教材整理等差数列的性质阅读教材p39探究及练习第4,5题,完成下列问题1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是一固定常数;当d0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足mnpq,则amanapaq.特别地,当mn2k(m,n,kn*)时,aman2ak.对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列,则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列;can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;anank(k为常数,kn*)是公差为2d的等差数列(4)若an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列panqbn(p,q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0an为递减数列;d0an为常数列1下列说法中正确的是_(填序号)若an是等差数列,则|an|也是等差数列若|an|是等差数列,则an也是等差数列若an是等差数列,则对任意nn*都有2an1anan2.数列an的通项公式为an3n5,则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等【解析】错误如2,1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列错误如数列1,2,3,4,5,其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列正确根据等差数列的通项可判定对任意nn*都有2an1anan2成立正确因为an3n5的公差d3,而直线y3x5的斜率也是3.【答案】2在等差数列an中,若a56,a815,则a14_.【解析】数列an是等差数列,a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,a1469333.【答案】333在等差数列 an中,已知a3a4a5a6a7450,则a2a8_.【解析】因为a3a4a5a6a75a5450,所以a590,a2a82a5290180.【答案】1804已知等差数列an中,a7a916,a41,则a12_. 【解析】在等差数列an中,由于a7a9a4a12,所以a12(a7a9)a416115.【答案】15小组合作型灵活设元解等差数列已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数【精彩点拨】(1)能否直接设出首项和公差,用方程组求解?(2)等差数列相邻四项和为26,这四项有对称性吗?能否用对称设法求解?【自主解答】法一:设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得化简,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:设这四个数分别为a3d,ad,ad,a3d,根据题意,得化简,得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列2当已知数列有2n项时,可设为a(2n1)d,a3d,ad,ad,a3d,a(2n1)d,此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时,可设为and,a(n1)d,ad,a,ad,a(n1)d,and,此时公差为d.再练一题1三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. 【解】(1)设这三个数依次为ad,a,ad,则解得这三个数为4,3,2.等差数列的实际应用 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个甲乙图221请你根据提供的信息回答问题(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由【精彩点拨】解决本题关键是构造两个数列:一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列,一个是每年的养鸡场的个数构成的数列【自主解答】由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为an,公差为d1,且a11,a62;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为bn,公差为d2,且b130,b610;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn,则cnanbn.(1)由a11,a62,得得a21.2;由b130,b610,得得b226.c2a2b21.22631.2,即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡31.2万只(2)c6a6b621020c1a1b130,到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了1在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量再练一题2某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?【解】由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则anan120,(n2,nn*),每年获利构成等差数列an,且首项a1200,公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0,则该公司经销这一产品将亏损,由an20n22011,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损探究共研型等差数列的性质探究1数列2,4,6,8,10,12,14,16,是等差数列吗?2,6,10,14,是等差数列吗?4,8,12,16是等差数列吗,它们有什么关系?这说明了什么?【提示】这三个数列均是等差数列,后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项,按原来顺序组成的新数列,这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项,按原来的顺序排列,还是一个等差数列探究2在等差数列an中,若an3n1,那么a1a5a2a4吗?a2a5a3a4成立吗?由此你能得到什么结论?该结论对任意等差数列都适用吗?为什么?【提示】由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a3a4均成立,由此有若m,n,p,qn*且mnpq,则amanapaq.对于任意等差数列an,设其公差为d.则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d,apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d,因mnpq,故amanapaq对任意等差数列都适用探究3在等差数列an中,2anan1an1(n1)成立吗?2anankank(nk0)是否成立?【提示】在探究2的结论中,令mn,pn1,qn1,可知2anan1an1成立;令mn,pnk,qnk,可知2anankank也成立在公差为d的等差数列an中,(1)已知a2a3a23a2448,求a13;(2)已知a2a3a4a534,a2a552,求d.【精彩点拨】解答本题可以直接转化为基本量的运算,求出a1和d后再解决其他问题,也可以利用等差数列的性质来解决【自主解答】法一:(1)化成a1和d的方程如下:(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48,即4(a112d)48,4a1348,a1312.(2)化成a1和d的方程如下:解得或d3或3.法二:(1)根据已知条件a2a3a23a2448,及a2a24a3a232a13,得4a1348,a1312.(2)由a2a3a4a534,及a3a4a2a5得2(a2a5)34,即a2a517.解得或d3或d3.1利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的基本方法2巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程3通项公式的变形形式anam(nm)d,(m,nn*),它又可变形为d,应注意把握,并学会应用再练一题3(1)设数列an,bn都是等差数列若a1b17,a3b321,则a5b5_.(2)已知an为等差数列,a158,a6020,则a75_.【解析】(1)法一:设数列an,bn的公差分别为d1,d2,因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21,所以d1d27,所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二:数列an,bn都是等差数列,数列anbn也构成等差数列,2(a3b3)(a1b1)(a5b5),2217a5b5,a5b535.(2)法一:因为an为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,其公差为d,a15为首项,则a60为其第四项,所以a60a153d,得d4.所以a75a60da7524.法二:因为a15a114d,a60a159d,所以解得故a75a174d7424.【答案】(1)35(2)241已知等差数列an,则使数列bn一定为等差数列的是()abnanbbnacbndbn【解析】数列an是等差数列,an1and(常数)对于a:bn1bnanan1d,正确;对于b不一定正确,如数列ann,则bnan2,显然不是等差数列;对于c、d:及不一定有意义,故选a.【答案】a2在等差数列an中,已知a12,a2a313,则a4a5a6等于()a40b42c43d45【解析】由即得d3.所以a524314,所以a4a5a63a5
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