教科版必修2 圆周运动的实例分析 第1课时 学案.doc

第3节圆周运动的实例分析学习目标核心提炼1.巩固向心力和向心加速度的知识。4个实例汽车过拱形桥、“旋转秋千”、火车转弯、离心运动2.会在具体问题中分析向心力的来源。3.会用牛顿第二定律解决生活中较简单的圆周运动问题。一、汽车过拱形桥阅读教材第30页“汽车过拱形桥”部分，会用向心力公式分析汽车过拱形桥时的受力情况。汽车过凸形桥汽车过凹形桥受力分析向心力f合mgnmf合nmgm对桥的压力nmgmnmgm结论汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大思维拓展(1)汽车以相同的速度通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点，则汽车对两桥的压力大小相等吗？(2)当汽车的速度为多大时，汽车对凸形桥面的压力恰好为零？解析(1)凸形桥最高点：mgn1m，即n1mgm。在凹形桥最低点：n2mgm，即n2mgm，所以n1n2由牛顿第三定律得汽车对两桥的压力n1n2。(2)由mgnm，知，当n0时，解得v，即当v时汽车对桥面的压力恰好为零。答案(1)不相等(2)vr二、“旋转秋千”阅读教材第31页“旋转秋千”部分，知道“旋转秋千”的运动特点和受力特点。1运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫做圆锥摆。2运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示)图1(1)向心力来源：做圆锥摆运动的物体在水平面内做匀速圆周运动的向心力由其受到的重力mg和悬线拉力t的合力f合提供即f合mgtan_(如图所示)。(2)圆周运动的半径：若绳长为l，绳与竖直方向的夹角为，物体做圆周运动的半径rlsin_。(3)动力学方程：由牛顿第二定律f合m2r，解得，所以cos。思考判断(1)“旋转秋千”的向心力由绳的拉力提供。()(2)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与角速度和绳长l有关，在绳长l确定的情况下，角速度越大，越大。()(3)“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的体重有关。体重越大夹角越小。()三、火车转弯阅读教材第3233页“火车转弯”部分，知道铁路的弯道上两轨高度的设计特点、目的。1火车在弯道上的运动特点：火车转弯时实际上做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。2向心力的来源(1)若铁路弯道的内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力g和支持力n的合力提供。思维拓展如图2为火车在转弯时的受力分析图，试根据图讨论以下问题：图2(1)火车转弯处的轨道有什么特点？(2)火车通过转弯处要按照规定速度行驶，火车弯道处的规定速度与什么有关？当行驶速度过大或过小时，火车会对哪侧轨道有侧压力？答案(1)火车转弯处外轨略高于内轨。(2)当轮缘与铁轨间没有弹力时，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan m，则v0，故规定行驶速度由r和决定。当火车行驶速度vv0时，重力和支持力的合力提供向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度vv0时，重力和支持力的合力提供向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力。四、离心运动阅读教材第3334页“离心运动”部分，知道离心现象，初步了解产生离心运动的原因。1定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。2原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。3应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。思维拓展链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：图3(1)链球飞出、汽车滑出路面是因为受到了离心力吗？(2)物体做离心运动的条件是什么？答案(1)不是(2)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3竖直面内的圆周运动要点归纳1汽车过拱形桥问题(1)过凸形桥顶(如图4甲)：合力等于向心力：mgnm，nmg，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。汽车安全过桥的条件：由mgnm知，当n0时，v，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动。故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v。图4(2)过凹形桥底(如图乙)：合力等于向心力：nmgm，nmg，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。2竖直平面内圆周运动的两类模型(1)轻绳模型如图5所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mgm，得v。图5在最高点时：v时，拉力或压力为零。v时，物体受向下的拉力或压力。v时，物体不能达到最高点。即绳类的临界速度为v临。(2)轻杆模型如图6所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。在最高点图6v0时，小球受向上的支持力fnmg。0v时，小球受向上的支持力0fnmg。v时，小球除受重力之外不受其他力。v时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。即杆类的临界速度为v临0。精典示例例1 长度为0.5 m的轻杆oa绕o点在竖直平面内做圆周运动，a端连着一个质量m2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。思路探究(1)在最高点，球的向心力由谁提供？(2)杆对球施加的力一定是拉力吗？提示(1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力提供向心力。(2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定。解析假设小球在最高点的受力如图所示。(1)杆的转速为2.0 r/s时，2n4 rad/s由牛顿第二定律得：fmgml2故小球所受杆的作用力fml2mg2(0.542210)n138 n即杆对小球提供了138 n的拉力由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 n，方向竖直向上。(2)杆的转速为0.5 r/s时，2n rad/s同理可得小球所受杆的作用力fml2mg2(0.5210)n10 n。力f为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 n，方向竖直向下。答案见解析竖直平面内圆周运动的分析方法(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。针对训练1 (2017黄石高一检测)(多选)如图7所示，有一个半径为r的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是()图7av的极小值为bv由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大c当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大d当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大解析由于轨道可以对球提供支持力，小球过最高点的速度最小值为0，a错；当0v时，轨道对小球的弹力为支持力，由牛顿第二定律得，mgfnm，故fnmgm，v越大，fn越小；当v时，轨道对小球弹力为外轨对它向下的压力，即fnmgm，v越大，fn越大，故b错误，c、d正确。答案cd铁路的弯道要点归纳1火车在弯道上的运动特点火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。2转弯轨道受力与火车速度的关系图8(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，有mgtan m，如图8所示，则v0，其中r为弯道半径，为轨道平面与水平面的夹角(tan )，v0为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。(2)若火车行驶速度v0，外轨对轮缘有侧压力。(3)若火车行驶速度v0，内轨对轮缘有侧压力。精典示例例2 (2017忻州高一检测) (多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是()图9a减小内外轨的高度差 b增加内外轨的高度差c减小弯道半径 d增大弯道半径思路探究(1)在铁路弯道处，内轨比外轨高还是低？(2)火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由哪些力提供？提示(1)内轨低于外轨。(2)由火车的重力和轨道的支持力的合力提供。解析当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即fmgtan ，而fm，故v。若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径r，故a、c正确，b、d错误。答案ac【误区警示】火车转弯问题的两点注意(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车所受合力应沿水平面指向圆心。(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。针对训练2 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为，如图10所示，弯道处的圆弧半径为r，若质量为m的火车转弯时速度等于，则()图10a内轨对内侧车轮轮缘有挤压b外轨对外侧车轮轮缘有挤压c这时铁轨对火车的支持力等于d这时铁轨对火车的支持力大于解析由牛顿第二定律f合m，解得f合mgtan ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，ncos mg，则n，故c正确，a、b、d错误。答案c离心运动要点归纳1离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力。2离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。3离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力f合与所需向心力(m或mr2)的大小关系决定。图11(1)若f合mr2(或m)，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。(2)若f合mr2(或m)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。(3)若f合mr2(或m)，即“提供”不足，物体做离心运动。(4)若f合0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出。精典示例例3 如图12所示，小球从“离心轨道”上滑下，若小球经过a点时开始脱离圆环，则小球将做()图12a自由落体运动 b平抛运动c斜上抛运动 d竖直上抛运动思路探究(1)小球脱离轨道时的速度方向如何？(2)脱离轨道后，小球受力情况如何？提示(1)小球脱离轨道时的速度方向斜向上。(2)脱离轨道后，小球只受重力作用。解析小球在脱离轨道时的速度是沿着轨道的切线方向的，即斜向上。当脱离轨道后小球只受重力，所以小球将做斜上抛运动。答案c【误区警示】离心现象的三点注意(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。针对训练3 如图13所示，光滑的水平面上，小球m在拉力f作用下做匀速圆周运动，若小球到达p点时f突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是()图13af突然消失，小球将沿轨迹pa做离心运动bf突然变小，小球将沿轨迹pa做离心运动cf突然变大，小球将沿轨迹pb做离心运动df突然变小，小球将沿轨迹pc逐渐靠近圆心解析若f突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，a正确；若f突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，b、d错误；若f突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，c错误。答案a1(汽车过桥问题)(2017大理高一检测)汽车以恒定的速率通过一圆弧形拱桥，当它位于拱桥顶部时，下列说法正确的是()图14a汽车处于超重状态b汽车对拱桥的压力等于其重力c汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用d汽车受到的重力和支持力的合力提供它所需的向心力，方向指向圆弧的圆心答案d2(竖直面内的圆周运动绳模型)如图15所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为r，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()图15a b2c d解析小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mgm2r，解得，选项c正确。答案c3(竖直平面内的圆周运动杆模型)(2017泉州高一检测)如图16所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r的圆周运动，以下说法正确的是()图16a小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0b小球过最高点时，速度至少为c小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力d小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反解析当小球在最高点的速度为时，杆所受弹力为0，a错误；因为是细杆，小球过最高点时的最小速度是0，b错误；小球过最高点时，如果速度在0范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，c正确；小球通过最高点的速度大于，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下作用力，d错误。答案c4(离心运动的应用)下列有关洗衣机脱水筒的脱水原理说法正确的是()a水滴受离心力作用，而沿背离圆心的方向甩出b水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出c水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出d水滴与衣服间的附着力小于它所需的向心力，于是沿切线方向甩出解析随着脱水筒的转速增加，水滴所需的向心力越来越大，当转速达到一定值，水滴所需的向心力fm大于水滴与衣服间的附着力时，水滴就会做离心运动，沿切线方向被甩出。答案d5(“旋转秋千”模型)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图17所示。长为l的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为。不计钢绳的重力，求：图17(1)转盘转动的角速度与夹角的关系；(2)此时钢绳的拉力多大？解析(1)对座椅受力分析，如图所示。转盘转动的角速度为时，钢绳与竖直方向的夹角为，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为rrlsin 根据牛顿第二定律：mgtan m2r由得：(2)设钢绳的拉力为ft，由力的三角形知：ft。答案(1)(2)基础过关1(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关。还与火车在弯道上的行驶速度v有关。下列说法正确的是()a速率v一定时，r越小，要求h越大b速率v一定时，r越大，要求h越大c半径r一定时，v越小，要求h越大d半径r一定时，v越大，要求h越大解析设轨道平面与水平方向的夹角为，由mgtan m，得tan ；又因为tan sin ，所以。可见v一定时，r越大，h越小，故a正确，b错误；当r一定时，v越大，h越大，故c错误，d正确。答案ad2(2017大理高一检测)关于离心运动，下列说法正确的是()a物体做离心运动时将沿半径方向向外远离圆心b洗衣机脱水时利用衣服做离心运动将衣服甩干c在水平公路上转弯的汽车速度过大，会因做离心运动而造成事故d物体做离心运动的原因，是物体受到的合力大于所需的向心力解析做离心运动的物体沿速度方向远离圆心，而不是沿半径方向，a错误；洗衣机脱水时利用离心运动将附着在衣服上的水分甩掉，水做离心运动，b错误；当汽车在转弯时速度过快，由于离心运动汽车可能向弯道的外侧行驶，从而发生交通事故，c正确；物体做离心运动的原因，是物体受到的合力小于所需的向心力，d错误。答案c3(2017保定高一检测)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增大为原来的2倍时，则汽车转弯的轨道半径必须(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)()a减小为原来的 b减小为原来的c增大为原来的2倍 d增大为原来的4倍解析汽车在水平路面上转弯，向心力由静摩擦力提供。设汽车质量为m，汽车与路面的动摩擦因数为，汽车的转弯半径为r，则mgm，故rv2，故速率增大为原来的2倍时，转弯半径增大到原来的4倍，d项正确。答案d4如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度v，l是球心到o点的距离，则球对杆的作用力是()图1a拉力，大小为mg b压力，大小为mgc0 d压力，大小为mg解析当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mgm，解得v。因为，杆对球的作用力是支持力，即mgnm，解得nmg，由牛顿第三定律，球对杆的作用力是压力，故选b。答案b5某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为r，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)()amg b2mgcmg d2解析在最高点有：f1mgm，解得f1mmg；在最低点有：f2mgm，解得f2mgm。所以f2f12mg，b正确。答案b6如图2所示，长为l0.5 m的轻杆oa绕o点在竖直平面内做匀速圆周运动，a端连着一个质量m2 kg的小球，g取10 m/s2。图2(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大；(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 n，求杆旋转的角速度为多大。解析(1)小球在最低点受力如图甲所示：合力等于向心力：famgm解得：fa56 n(2)小球在最高点如图乙所示：则：mgfbm2l解得：4 rad/s答案(1)56 n(2)4 rad/s能力提升7 (2017汕头高一检测)(多选)铁道转弯处内、外铁轨间设计有高度差，可以使火车顺利转弯，下列说法中正确的是()图3a主要是为了减少车轮与铁轨间的摩擦b主要是为了减少轮缘与铁轨间的挤压c内轨应略高于外轨d重力和支持力的合力为火车转弯提供了向心力解析铁道转弯处，轨道设计成外轨高于内轨，目的是让重力和弹力的合力提供向心力，不用轨道对车轮产生侧向挤压力，以保护内轨和外轨。故a、c错，b、d对。答案bd8(2017西安高一检测)质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为()a0 bmg c3mg d5mg解析当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力提供向心力，有：mgm当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力mg和向下的支持力n，如图，合力提供向心力，有：mgnm；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等，nn；由以上三式可得，n3mg。故c正确。答案c9 (2017青岛高一检测)如图4所示，底面半径为r的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则()图4a小球一定受到两个力的作用b小球可能受到三个力的作用c当v0时，小球对底面的压力为零d当v0时，小球对侧壁的压力为零解析设小球刚好对底面无压力时的速度为v，此时小球的向心力fmgtan m，所以v。故当小球转动速度v0时，它受重力、底面的支持力和侧壁的弹力三个力作用；故当小球转动速度v0时，它只受重力和侧壁的弹力作用。因此选项b正确，a、c、d错误。答案b10杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图5所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()