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直线与圆的位置关系 问题一艘轮船在沿直线返回港口途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 以台风中心为原点o 东西方向为x轴 建立直角坐标系 取10km为单位长度 圆o的方程为 轮船航线所直线的方程为 问题归结为圆心为o的圆与直线有无公共点 我们一起来回忆直线与圆的位置关系 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 只有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 例1已知直线和圆心为c的圆 判断直线l与圆的位置关系 如果相交 求它们交点的坐标 解法一 由直线与圆的方程 得 消去y 得 因为 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 解法二 将圆化成标准方程 得 圆心坐标为 0 1 半径长为 圆心到直线l的距离是 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 由 解得 把代入方程 得 把代入方程 得 所以 直线l与圆有两个交点 它们的坐标分别是 例2已知过点m 3 3 的直线l被圆所截得的弦长为 求直线l的方程 解 将圆的方程写成标准形式 得 所以 圆心的坐标是 0 2 半径长r 5 直线l被圆所截得的弦长是 所以弦心距为 即圆心到所求直线l的距离为 因为直线l过点m 3 3 所以可设所求直线l的方程为 即 根据点到直线的距离公式 得到圆心到直线l的距离 即 两边平方 并整理得到 解得 所以 所求直线l有两条 它们的方程分别为 或 即 判断直线l与圆c的位置关系有两种方法 方法一 判断直线l与圆c的方程组成的方程是否有解 代数方法 把直线方程与圆的方程联立成方程组 求出其 的值 比较 与0的大小 当 0时 直线与圆相交 主要步骤 利用消元法 得到关于另一个元的一元二次方程 方法二 判断圆c的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系 几何方法 主要步骤 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断 当d r时 直线与圆相离 当d r时 直线与圆相切 当d r时 直线与圆相交 把直线方程化为一般式 利用圆的方程求出圆心和半径 课堂练习 1 直线x 2y 3 0被圆截得的弦为ab 则ab的弦心距是 弦长 ab 课堂练习 2 已知直线l y k x 5 及圆 1 若直线l与圆相切 求k值 2 若直线l与圆交于a b两点 求当k变动时 弦ab的中点的轨迹 课堂小结 解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征或几何特征去考虑 根据题目给出的已知条件选择恰当的方法 涉及圆中弦的问题时 运
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