人教A版必修二 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 课件（33张）.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 一 二 三 四 一 空间中两条直线的位置关系 问题思考 1 同一平面内两条直线有几种位置关系 分别是什么关系 提示 两种 分别是平行关系和相交关系 2 观察长方体abcd a1b1c1d1 棱a1d1所在的直线与棱bb1所在的直线在同一个平面内吗 它们是什么关系 提示 不在同一个平面内 它们是异面关系 一 二 三 四 3 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面 提示 不一定 它们可能异面 可能相交 也可能平行 4 空间的两条直线有几种位置关系 分别是什么关系 提示 三种 相交直线 平行直线和异面直线 其中相交直线和平行直线是共面直线 5 填空 一 二 三 四 6 做一做 平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是 答案 相交或异面 一 二 三 四 二 平行公理 问题思考 1 观察长方体abcd a1b1c1d1 显然ab cd cd c1d1 则ab与c1d1有何位置关系 提示 ab c1d1 2 关于公理4 请完成下表 一 二 三 四 三 等角定理 问题思考 1 如图 在四棱柱abcd a b c d 中 底面abcd为菱形 adc与 a d c adc与 a b c 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 提示 adc a d c adc a b c 180 2 平面上 我们容易证明 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 在空间中 该结论是否仍然成立 提示 仍然成立 一 二 三 四 3 填空 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 做一做 已知 bac 30 ab a b ac a c 则 b a c a 30 b 150 c 30 或150 d 大小无法确定解析 当 b a c 与 bac开口方向相同时 b a c 30 当 b a c 与 bac开口方向相反时 b a c 150 答案 c 一 二 三 四 四 异面直线所成的角 问题思考 1 在长方体a1b1c1d1 abcd中 bc1 ad1 则 直线bc1与直线bc所成的角 与 直线ad1与直线bc所成的角 是否相等 提示 相等 2 若两条相交直线a b 所成的角为 则 的取值范围是什么 类似地 若两条异面直线a b所成的角为 则 的取值范围是什么 提示 0 90 0 90 一 二 三 四 3 关于两条异面直线所成的角 夹角 填写下表 4 做一做 在正方体abcd a1b1c1d1中 bae 25 则异面直线ae与b1c1所成的角的大小为 答案 65 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 没有公共点的两条直线一定是异面直线 2 两直线垂直 则这两条直线一定相交 3 两直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 空间两条直线位置关系的判定 例1 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 判断下列直线间的位置关系 a1b与d1c a1b与b1c d1d与ce e为c1d1的中点 ab与b1c 2 已知三条直线a b c a与b异面 b与c异面 则a与c有什么样的位置关系 并画图说明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 思路分析 1 2 根据异面直线的定义分析 解 1 平行 异面 相交 异面 2 直线a与c的位置关系有三种情况 如图所示 直线a与c可能平行 如图 可能相交 如图 可能异面 如图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟空间两条直线位置关系的判定方法 1 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断 而两条直线平行也可以用公理4判断 2 判定两条直线是异面直线的方法 定义法 由定义判断两直线不可能在同一平面内 排除法 反证法 排除两直线共面 平行或相交 重要结论 连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 如图 a b l b l ab与l是异面直线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 在本例的正方体中 所有与直线ab异面的棱所在的直线为 解析 正方体中与直线ab异面的棱所在的直线有 cc1 b1c1 dd1 a1d1 答案 cc1 b1c1 dd1 a1d1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 平行公理 等角定理的应用 例2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m m1分别是棱ad和a1d1的中点 1 求证 四边形bb1m1m为平行四边形 2 求证 bmc b1m1c1 思路分析 1 通过公理4证明mm1 bb1 且mm1 bb1 2 由 1 知b1m1 bm 同理证得c1m1 cm 再由等角定理证得 bmc b1m1c1 也可以通过证明 bcm b1c1m1证出 bmc b1m1c1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 1 在正方形add1a1中 m m1分别为ad a1d1的中点 mm1aa1 又aa1bb1 mm1 bb1 且mm1 bb1 四边形bb1m1m为平行四边形 2 方法一 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 由 1 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 由平面几何知识可知 bmc和 b1m1c1都是锐角 bmc b1m1c1 方法二 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 由 1 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 又b1c1 bc b1c1m1 bcm b1m1c1 bmc 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分 除了平面几何中常用的判断方法以外 公理4也是判断两直线平行的重要依据 证明角相等 利用空间等角定理是常用的思考方法 另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等 在应用等角定理时 应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时 这两个角相等 否则这两个角互补 因此 在证明两个角相等时 只说明两个角的两边分别对应平行是不够的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练在本例中 若n1是d1c1的中点 则四边形m1n1ca是 填 平行四边形 或 梯形 解析 如图 连接a1c1 m1 n1分别是a1d1 d1c1的中点 m1n1 a1c1 且m1n1 a1c1 由正方体的性质可知 a1c1 ac 且a1c1 ac m1n1 ac 且m1n1 ac 四边形m1n1ca是梯形 答案 梯形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求异面直线所成的角 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成角的大小 思路分析 先作出角 再证明角的两边分别与两异面直线平行 最后在三角形中求角 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法一如图 1 连接a1c1 b1d1 并设它们相交于点o 取dd1的中点g 连接og 则og b1d ef a1c1 goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角 ga1 gc1 o为a1c1的中点 go a1c1 异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法三如图 3 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 连接b1q 则b1q ef 于是 db1q为异面直线db1与ef所成的角或其补角 通过计算 不难得到 b1d2 b1q2 dq2 从而异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求两条异面直线所成的角是立体几何中的重要题型之一 而求它的常用方法是空间问题平面化 1 具体地 求两条异面直线所成角的一般步骤是 构造 恰当地选择一个点 线段的端点或中点 用平移法构造异面直线所成的角 证明 证明 中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角 计算 通过解三角形等知识 求出 中所构造的角的大小 结论 假如所构造的角的大小为 若0 90 则 即为所求异面直线所成角的大小 若90 180 则180 即为所求 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 作出异面直线所成的角 可通过多种方法平移产生 主要有三种方法 直接平移法 可利用图中已有的平行线 中位线平移法 补形平移法 在已知图形中 补作一个相同的几何体 以便找到平行线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽略异面直线所成的角的范围而致错 典例 已知ab bc bc cd de ae de bc 且ab bc cd de 异面直线ab与cd成60 角 求异面直线ad与bc所成的角 错解 连接ae be 如图 所示 de bc bc cd de bc cd 四边形bcde为正方形 ab bc ab bc 异面直线ab与cd成60 角 abe 60 abe是正三角形 ae ab bc de 又de ae ade是等腰直角三角形 ade 45 异面直线ad与bc所成的角的度数为45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 提示 以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 如何防范 错误的原因是漏掉了如图 所示的情况 补齐即可 正解 同错解 连接ae be 如图 所示 de bc bc cd de bc cd 四边形bcde是正方形 又ab bc ab bc 异面直线ab与cd成60 角 ab be abe 120 设ab 1 则ae de ae 在rt ade中 ade 60 即异面直线ad与bc所成的角的度数为60 综上所述 异面直线ad与bc所成的角的度数为60 或45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 防范措施异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角 当已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时 依据等角定理两者可能相等或者互补 所以我们应当考虑两种情况 1 2 3 4 5 1 如果两条直线a和b没有公共点 那么a和b a 共面b 平行c 异面d 平行或异面解析 直线a b没有公共点时 a b可能平行 也可能异面 答案 d 1 2 3 4 5 2 直线a与直线b相交 直线c与直线b相交 则直线a与直线c的位置关系是 a 相交b 平行c 异面d 以上都有可能解析 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab与aa1相交 a1b1与aa1相交 ab a1b1 又ad与aa1相交 ab与ad相交 又a1d1与aa1相交 ab与a1d1异面 故选d 答案 d 1 2 3 4 5 3 2017河北石家庄期末 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示 a b c是展开图上的三点 则在正方体盒子中 abc的度数是 a 45 b 30 c 60 d 90 解析 将平面图折叠 得立体图 如图所示 可得 abc的各边均为正方形的面对角