常见递推数列通项的求解方法.doc

6常见递推数列通项的求解方法 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析： 上述个等式相加可得： 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。类型二： （可以求积）累积法例2、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式； 评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例3 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。类型四： 可将其转化为-（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。例4、 在数列中， ，且求数列的通项公式。解析：令得方程组 解得则数列是以为首项，以2为公比的等比数列 评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例5 已知、,求解析：令，整理得 ；两边同除以得，令，令，得 ，故是以为首项，为公比的等比数列。 ，即，得类型五： （且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。（1）若，则可设 解得：，是以为首项，k为公比的等比数列 将A、B代入即可（2）若（0，1），则等式两边同时除以得令 则 可归为型例6 设在数列中， ，求数列的通项公式。解析：设 展开后比较得 这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例7 在数列中， ，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。 即例8 在数列中， ，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得 ； 两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。， 评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则， ；再加上得，整理得：，令，则令 ；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得类型六：（）倒数法例10 已知，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，； 是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。类型七： 例11 已知数列前n项和.求与的关系； （2）求通项公式.解析：时，得；时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；得。类型八：周期型例12若数列满足，若，则的值为_。解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为：；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；.评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。类型九、利用数学归纳法求通项公式例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解析：根据递推关系和得，所以猜测，下面用数学归纳法证明它；时成立（已证明）假设时，命题成立，即，则时，=。时命题成立；由可知命题对所有的均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。8、 已知数列满足，求数列的通项公式。9、已知数列满足，求。 10、数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值； c=2（II）求的通项公式 11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则5；当时，（用表示）7、已知数列满足，求数列的通项公式。8、已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 7、设二次方程x-x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用表示a； （2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式 2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列的通项公式.3、已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。9、已知数列满足，求数列的通项公式。16、已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。7、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a6、已知无穷数列的前项和