人教A版版必修五 第一章 1.2　余弦定理 学案.docx

1.2 余弦定理第1课时 余弦定理及其直接应用学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一 余弦定理思考1 根据勾股定理，若在abc中，c90，则c2a2b2a2b22abcos c试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案 当abc时，c60，a2b22abcos cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，据此猜想，对一般abc，都有c2a2b22abcos c.思考2 在c2a2b22abcos c中，abcos c能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案 abcos c| |cos，.a2b22abcos c222()22c2.猜想得证梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述余弦定理公式表达a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos a，cos b，cos c特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在abc中，已知两边及其夹角时，abc不一定唯一()类型一 余弦定理的证明例1 已知abc，bca，acb和角c，求c.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，设a，b，c，由，知cab，则|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a b|cos c，所以c2a2b22abcos c.反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的理解解 如图，以a为原点，边ab所在直线为x轴建立直角坐标系，则a(0,0)，b(c,0)，c(bcos a，bsin a)，bc2b2cos2a2bccos ac2b2sin2a，即a2b2c22bccos a.同理可证b2c2a22cacos b，c2a2b22abcos c.类型二 用余弦定理解三角形命题角度1 已知两边及其夹角例2 在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(ab)，则c等于( )a4 b. c3 d.考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 d解析 由三角形内角和定理可知cos ccos(ab)，又由余弦定理得c2a2b22abcos c9423217，所以c.反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练2 在abc中，已知a2，b2，c15，求a.考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形解 由余弦定理，得c2a2b22abcos c84，所以c.由正弦定理，得sin a，因为ba，所以ba，所以a为锐角，所以a30.命题角度2 已知三边例3 在abc中，已知a2，b62，c4，求a，b，c.考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos a.a(0，)，a，cos c，c(0，)，c.bac，a，b，c.反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos a，cos b，cos c，先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理跟踪训练3 在abc中，sin asin bsin c245，判断三角形的形状考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形解 因为abcsin asin bsin c245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cos cbc，c为最小角且c为锐角，由余弦定理，得cos c.又c为锐角，c.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )a. b. c. d.考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 d解析 设顶角为c，周长为l，因为l5c，所以ab2c，由余弦定理，得cos c.4在abc中，a3，b2，cos c，则c2 .考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 304解析 c2a2b22abcos c(3)2(2)2232304.5在abc中，若b1，c，c，则a .考点 余弦定理及其变形应用题点 用余弦定理求边或角的取值范围答案 1解析 c2a2b22abcos c，()2a2122a1cos，a2a20，即(a2)(a1)0，a1或a2(舍去)，a1.1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角一、选择题1在abc中，已知a2，则bcos cccos b等于( )a1 b. c2 d4考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 c解析 bcos cccos bbca2.2在abc中，已知b120，a3，c5，则b等于( )a4 b. c7 d5考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 c解析 b2a2c22accos b3252235cos 12049，b7.3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )a90 b120 c135 d150考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 b解析 设中间角为，则为锐角，cos ，60，18060120为所求4在abc中，已知b2ac且c2a，则cos b等于( )a. b. c. d.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 b解析 b2ac，c2a，b22a2，cos b.5若abc的三边长分别为ab7，bc5，ca6，则的值为( )a19 b14 c18 d19考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 d解析 设三角形的三边分别为a，b，c，依题意，得a5，b6，c7.|cos(b)accos b.由余弦定理得b2a2c22accos b，accos b(b2a2c2)(625272)19，19.6在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若a4，b5，c6，则等于( )a1 b2 c. d.考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 a解析 由余弦定理得cos a，所以1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从点o沿od走到点d用了2 min，从点d沿dc走到点c用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为( )a50 m b45 m c50 m d47 m考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其夹角解三角形答案 c解析 依题意得od100 m，cd150 m，连接oc，易知odc180aob60，因此由余弦定理，得oc2od2cd22odcdcosodc，即oc2100215022100150，解得oc50(m)8若abc的内角a，b，c所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且c60，则ab的值为( )a. b84c1 d.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用答案 a解析 (ab)2c2a2b2c22ab4，又c2a2b22abcos ca2b2aba2b2c2ab，3ab4，ab.二、填空题9在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2，且sin c，则c .考点 余弦定理及其变形应用题点 用余弦定理求边或角的取值范围答案 解析 因为a2b2c2，所以cos c.又因为sin c，所以c.10在abc中，a60，最大边长与最小边长是方程x29x80的两个实根，则边bc的长为 考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题答案 解析 设内角b，c所对的边分别为b，c.a60，可设最大边与最小边分别为b，c.由条件可知bc9，bc8，bc2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a922828cos 6057，bc.11在abc中，ab2，ac，bc1，ad为边bc上的高，则ad的长是 考点 余弦定理解三解形题点 已知三边解三角形答案 解析 cos c，c，sin c，adacsin c.三、解答题12在abc中，已知a120，a7，bc8，求b，c.考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理的变形应用解 由余弦定理，得a2b2c22bccos a(bc)22bc(1cos a)，所以49642bc，即bc15, 由解得或13在abc中，a2c2b2ac，求：(1)b的大小；(2)cos acos c的最大值考点 用余弦定理解三角形题点 余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a2c2b2ac，得a2c2b2ac，由余弦定理得cos b.又0b，所以b.(2)acb，所以ca,0a，所以cos acos ccos acoscos