人教A版必修四 1.4.3 正切函数的性质与图像 教案.doc

1.4.3 正切函数的性质与图像一、教学目标：知识与技能：通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力过程与方法：在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心二重点难点重点：正切函数的性质与图象的简单应用难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用三、教材与学情分析本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法四、教学方法 问题引导，主动探究，启发式教学五、教学过程1.创设情境思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象这也是一种不错的选择，这是传统的导入法2.:我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？我们学习了正弦线、余弦线、正切线，你能画出四个象限的正切线吗？我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动：问题，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的，有了这些知识准备，然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质由于还没有作出正切函数图象，教师指导学生充分利用正切线的直观性(1)周期性:由诱导公式:tan(x)tanx，xr，xk，kz可知，正切函数是周期函数，周期是.这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性(2)奇偶性由诱导公式tan(x)tanx，xr，xk，kz可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的对称中心是(，0)kz.(3)单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(，)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(k，k)，kz内都是增函数(4)定义域根据正切函数的定义tan，显然，当角的终边落在y轴上任意一点时，都有x0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为k，kz，所以正切函数的定义域是|k，kz，而不是2k，kz，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从正切线知，当x大于且无限接近时，正切线at向oy轴的负方向无限延伸；当x小于且无限接近时，正切线at向oy轴的正方向无限延伸因此，tanx在(，)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值因此，正切函数的值域是实数集r.问题，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.图1问题，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念有的学生可能选取了0，作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现此时，教师应调整计划，把课件中先作出(，)内的图象，改为先作出0，内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(，)的图象为好这时条件成熟，教师引导学生来作正切函数的图象，如图2.根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数ytanx，xr，且xk(kz)的图象，我们称正切曲线，如图3. 图2 图3问题，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画出函数ytanx，x(，)的简图学生可看出有三个点很关键：(，1)，(0,0)，(，1)，还有两条竖线因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(，1)，(0,0)，(，1)，再画两条平行线x，x，然后连线教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助讨论结果：略正切线是at. 略 能，“三点两线”法:请同学们认真观察正切函数的图象特征，由数及形从正切函数的图象讨论它的性质设问：每个区间都是增函数，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子活动：问题，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线xk，kz所隔开的无穷多支曲线组成的教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线渐近线；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质值域为r；每隔个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质周期；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质单调性，单调增区间是(k，k)，kz，没有减区间它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质奇函数通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是(，0)，kz.问题，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数如在区间(0，)上就没有单调性讨论结果：略 略3. 例1比较大小(1)tan138与tan143； (2)tan()与tan()活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用解：(1)ytanx在90x180上为增函数，由138143，得tan138tan143.(2)tan()tantan(3)tan，tan()tantan(3)tan.又0，而ytanx在(0，)上是增函数，tantan，即tan()tan()点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可例2用图象求函数y的定义域活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性 图4 图5解：由tanx0，得tanx，利用图4知，所求定义域为k，k)(kz)点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种变式训练1. 根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合(1)1tanx0；(2)tanx0.解：(1)tanx1，xk，k)，kz；(2)xk，k)，kz.例3求函数ytan(x)的定义域、周期和单调区间活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将x作为一个整体教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域解：函数的自变量x应满足xk，kz，即x2k，kz. 所以函数的定义域是x|x2k，kz由于f(x)tan(x)tan(x)tan(x2)f(x2)，因此，函数的周期为2. 由kxk，kz，解得2kx0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究yatan(x)(0)的周期t.变式训练2. 求函数ytan(x)的定义域，值域，单调区间，周期性解：由xk，kz可知，定义域为x|xr且xk，kz值域为r.由x(k，k)，kz可得，在x(k，k)上是增函数周期是，也可看作由ytanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是.例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由活动：引导学生利用函数ytanx的单调性探究解题方法也可利用单位圆中的正切线探究解题方法但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数学生可能的错解有：错解1：函数ytanx是增函数，又1234，tan1tan2tan3tan4.错解2：2和3的终边在第二象限，tan2，tan3都是负数1和4的终边分别在第一象限和第三象限，tan1，tan4都是正数又函数ytanx是增函数，且23,14，tan2tan3tan1tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因解法一：函数ytanx在区间(，)上是单调递增函数，且tan1tan(1)，又2341，tan2tan3tan4tan1.解法二：如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是at1，at2，at3，at4，图6tan2tan3tan4tan1.点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这属于学生易错点把正切函数ytanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的六、课堂小结1先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质2(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探