人教A版选修12 第二章 推理与证明 章末复习 课件（30张）.pptx

章末复习 第二章推理与证明 学习目标1 理解合情推理和演绎推理 2 会用直接证明和间接证明方法证明问题 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由到 由到的推理 2 类比推理 由到的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 2 演绎推理 1 演绎推理 由到的推理 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 一般 特殊 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 3 直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是和 是从已知条件推出结论的证明方法 是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 大前提 小前提 结论 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 这是一种合情推理 3 一个数列的前三项是1 2 3 那么这个数列的通项公式是an n n n 4 在平面上 若两个正三角形的边长之比为1 2 则它们的面积之比为1 4类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长之比为1 2 则它们的体积之比为1 8 思考辨析判断正误 5 在演绎推理中 只要符合演绎推理的形式 结论就一定正确 6 命题 对任意角 cos4 sin4 cos2 的证明过程 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 应用了综合法 题型探究 例1有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 试观察每组内各数之和f n n n 与组的编号数n的关系式为 类型一合情推理的应用 f n n3 答案 解析 解析由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 反思与感悟 1 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容 通过观察给定的规律 得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型 2 类比推理重在考查观察和比较的能力 题目一般情况下较为新颖 也有一定的探索性 跟踪训练1观察下列等式 1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式应为 n n 1 3n 2 2n 1 2 答案 解析 解析把已知等式与行数对应起来 则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数的个数是2n 1 右边都是完全平方数 行数等号左边的项数1 1112 3 4 9233 4 5 6 7 25354 5 6 7 8 9 10 4947 所以n n 1 n 2n 1 1 2n 1 2 即n n 1 3n 2 2n 1 2 故填n n 1 3n 2 2n 1 2 例2已知 a a b c 类型二综合法与分析法 证明构造函数f x bc 1 x b c 2 x 1 1 则f 1 bc 1 b c 2 b 1 c 1 b 0 又 bc 10 bc 1 a b c 2 0 即abc 2 a b c 证明 反思与感悟根据待证不等式的结构特点构造函数 将此问题转化为函数问题 再利用函数的图象与性质解决问题 跟踪训练2设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明要证a3 b3 a2b ab2成立 即需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 即需证a2 ab b2 ab成立 只需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而由已知条件可知 a b 所以a b 0 所以 a b 2 0显然成立 即a3 b3 a2b ab2 证明 类型三反证法 证明假设x0是f x 0的负根 证明 所以假设不成立 故方程f x 0没有负根 反思与感悟当结论为否定形式的命题时 常常借助于反证法进行证明 如将方程f x 0没有负根 假设为方程f x 0存在负根x0 然后利用已知条件和假设结论进行推理 推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾 从而得出 假设不成立 的结论 跟踪训练3已知 ac 2 b d 求证 方程x2 ax b 0与方程x2 cx d 0中至少有一个方程有实数根 证明假设两方程都没有实数根 则 1 a2 4b2ac 即ac 2 b d 与已知矛盾 故原命题成立 证明 达标检测 1 2 3 4 1 观察按下列顺序排序的等式 9 0 1 1 9 1 2 11 9 2 3 21 9 3 4 31 猜想第n n n 个等式应为a 9 n 1 n 10n 9b 9 n 1 n 10n 9c 9n n 1 10n 1d 9 n 1 n 1 10n 10 答案 解析 解析由已知中的式子 我们观察后分析 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号 等式右边是一个等差数列 根据已知可以推断 第n n n 个等式为9 n 1 n 10n 9 5 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 下列关于否定结论 至多有两个解 的说法中 正确的是a 有一个解b 有两个解c 至少有三个解d 至少有两个解 答案 解析 至多有n个 的否定是 至少有n 1个 所以 至多有两个解 的否定为 至少有三个解 故选c 解析 1 2 3 4 5 答案 4 在等差数列 an 中 2an an 1 an 1 n 2 且n n 类比以上结论 在等比数列 bn 中 类似的结论是 1 2 3 4 5 答案 5 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n n 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 解析 1 2 3 4 5 解析在等差数列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a8 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 n 19 n n a1 a2 an a19 0 即a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 若a9 0 同理可得a1 a2 an a1 a2 a17 n 相应地 在等比数列 bn 中 则可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 1 2 3 4 5 规律与方法 1 归纳推理和类比推理都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整体的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推测未知 都能用于猜想 推理的结论不一定为真 有待进一步证明 2 演绎推理与合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是数学中证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 另一方面 合情推理与演绎推理又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论