人教A版选修21 2.2.2　椭圆的简单几何性质 课时作业.docx

2.2.2椭圆的简单几何性质课时过关能力提升基础巩固1已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1上,则()a.点(-3,-2)不在椭圆上b.点(3,-2)不在椭圆上c.点(-3,2)在椭圆上d.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选c.答案:c2已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()a.(3,0)b.(0,3)c.(5,0)d.(0,5)答案:a3已知椭圆x25+y2k=1的离心率e为105,则实数k的值为()a.3b.3或253c.5d.15或153答案:b4已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()a.x24+y2=1b.x2+y24=1c.x23+y2=1d.x2+y23=1解析:一个焦点为(-3,0),焦点在x轴上且c=3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=22b,即a=2b.故选a.答案:a5已知椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则该椭圆的标准方程为()a.x236+y216=1b.x216+y236=1c.x26+y24=1d.y26+x24=1答案:a6设f1,f2是椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,p为直线x=3a2上一点,f2pf1是底角为30的等腰三角形,则椭圆e的离心率为()a.12b.23c.34d.45解析:f2pf1是底角为30的等腰三角形,pf2a=60,|pf2|=|f1f2|=2c.|af2|=c.2c=32a.e=34,故选c.答案:c7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=255的椭圆的标准方程是.答案:x225+y25=1或x225+y2125=18已知f1,f2是椭圆的两个焦点,过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a,b两点,若abf2是正三角形,求该椭圆的离心率.分析不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图,由abf1f2,且abf2是正三角形,得出在rtaf1f2中,af2f1=30.令|af1|=x,则|af2|=2x,由勾股定理,求得|f1f2|=3x=2c.而|af1|+|af2|=2a,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图.abf1f2,且abf2为正三角形,在rtaf1f2中,af2f1=30.令|af1|=x,则|af2|=2x.故|f1f2|=|af2|2-|af1|2=3x=2c.由椭圆定义可知,|af1|+|af2|=2a.因此,e=2c2a=3x3x=33.9椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于a,b两点,c是ab的中点,若|ab|=22,oc的斜率为22,求椭圆的方程.解:法一设a(x1,y1),b(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12=1,ax22+by22=1.由-,得a(x1+x2)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而y2-y1x2-x1=kab=-1,y2+y1x2+x1=koc=22,则b=2a.|ab|=1+k2|x2-x1|=2|x2-x1|=22,|x2-x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,x1+x2=2ba+b,x1x2=b-1a+b.|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2 =2ba+b2-4b-1a+b=4. 将b=2a代入,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.解:法二由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设a(x1,y1),b(x2,y2).则|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=24b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.|ab|=22,a+b-aba+b=1.设c(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b.oc的斜率为22,ab=22.代入式,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.能力提升1过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p,f2为右焦点,若f1pf2=60,则椭圆的离心率为()a.22b.33c.12d.13解析:由点p-c,b2a,f1pf2=60,得3b2a=2a,从而可得e=ca=33,故选b.答案:b2设ab是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴,若把线段ab分为100等份,过每个分点作ab的垂线,分别交椭圆的上半部分于点p1,p2,p99,f1为椭圆的左焦点,则|f1a|+|f1p1|+|f1p2|+|f1p99|+|f1b|的值是()a.98ab.99ac.100ad.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|f1p1|+|f1p99|=|f1p2|+|f1p98|=|f1p49|+|f1p51|=|f1a|+|f1b|=2a,|f1p50|=a,故结果应为502a+|f1p50|=101a.答案:d3椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为a,左、右焦点分别为f1,f2,d是它短轴的一个端点,若3df1=da+2df2,则该椭圆的离心率为()a.12b.13c.14d.15解析:由题意,a(-a,0),f1(-c,0),f2(c,0),不妨设d(0,b).3df1=da+2df2,3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),a=5c.e=ca=15.故选d.答案:d4中心在原点,焦点坐标为(0,52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为()a.2x225+2y275=1b.2x275+2y225=1c.x225+y275=1d.x275+y225=1解析:由题意,可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1,且a2=50+b2,即方程为y250+b2+x2b2=1.将直线3x-y-2=0代入,整理成关于x的二次方程,由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.故选c.答案:c5已知f是椭圆c的一个焦点,b是短轴的一个端点,线段bf的延长线交椭圆c于点d,且bf=2fd,则椭圆c的离心率为.解析:如图,不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),b(0,b)为上顶点,f(c,0)为右焦点,设d(x,y).由bf=2fd,得(c,-b)=2(x-c,y),即c=2(x-c),-b=2y,解得x=3c2,y=-b2,则d3c2,-b2.由点d在椭圆上,知3c22a2+-b22b2=1.解得a2=3c2,即e2=13,故e=33.答案:336已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为f1,f2,p是椭圆上的一点,且f1pf2=60,则pf1f2的面积是.解析:如图,设|pf1|=m,|pf2|=n,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m2+n2+2mn=36.在pf1f2中,由余弦定理,得|f1f2|2=m2+n2-2mncos 60=(2c)2,即m2+n2-mn=16.由-,得3mn=20.故spf1f2=12mnsin 60=1220332=533.答案:5337椭圆x24+y2=1的长轴为a1a2,短轴为b1b2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点a1在平面b1a2b2上的射影恰为该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小是.解析:如图所示,设翻折后点a1变为a1.由题意,可知f2oy轴,a1oy轴,则a1of2就是二面角a1-b1b2-f2的平面角.又在rta1of2中,|a1o|=2,|of2|=3,得|a1f2|=1.故a1of2=30.答案:308已知直线y=-12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于a,b两点,m为线段ab的中点,若|ab|=25,直线om的斜率为12,求椭圆的方程.解:由y=-12x+2,x2a2+y2b2=1,消去y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=8a2a2+4b2,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2.又设m(xm,ym),则xm=x1+x22=4a2a2+4b2,ym=-12xm+2=8b2a2+4b2.因为kom=ymxm=12,所以2b2a2=12,即a2=4b2.从而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又因为|ab|=25, 所以1+14(x1+x2)2-4x1x2=25,即5216-4(8-2b2)=25,解得b2=4. 所以a2=4b2=16,故所求的椭圆方程为x216+y24=1.9设椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为f,过点f的直线l与椭圆c相交于a,b两点,直线l的倾斜角为60,af=2fb.(1)求椭圆c的离心率;(2)如果|ab|=154,求椭圆c的方程.解:设a(x1,y1),b(x2,y2),由直线l的倾斜角为60及af=2fb,知y10.(1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c=a2-b2,联立y=3(x-c),x2a2+y2b2=1,得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0,解得y1+y2=