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第4课时向量数乘运算及其几何意义 一 知识与技能1 掌握实数与向量积的定义 几何意义及运算律 2 理解两个向量共线 平行 等价条件 并会判断两向量是否共线 二 重点和难点1 重点 向量的数乘运算及两个向量共线的条件 2 难点 两个向量共线的条件的理解运用 导学坐标 学习目标 1 向量的数乘运算 1 定义 实数 与向量a的积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘 记作 a 它的长度与方向规定如下 a a 当 0时 a与a的方向相同 当 0时 a与a的方向相反 当 0时 a 0 2 运算律 设 为实数 则 a a a a a a b a b 知识点归纳 2 两个向量共线的条件向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 1 设a是非零向量 是非零实数 则下列结论正确的是 a a与 a的方向相反b a a c a与 2a方向相同d a a 答案 c 解析 0 2 0 a与 2a方向相同 故选c 自主演练 2 4 a b 3 a b b等于 a a 2bb ac a 6bd a 8b 答案 d 解析 4 a b 3 a b b 4a 4b 3a 3b b a 8b 故选d 答案 3 思路分析 结合数乘的运算律 高效课堂 典例精析 向量的线性运算 熟练掌握向量数乘的结合律和分配律是解题的关键 向量共线的判断 证明两向量a b共线 只需证明b a即可 证明三点共线的问题在向量中会经常遇到 常常是转化为证明三点构成的六个向量中的两个向量共线 利用向量共线定理来证明 用向量的方法证明 平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一对角线 向量的线性运算在几何图形中的应用 利用向量的线性运算 证明平面几何问题 反映出向量是证明平面几何问题的重要工具 其基本思路是 通过构造向量 利用向量的线性运算及向量共线定理 中点向量公式 结合图形的几何性质求解 答案 d 随堂练习 答案 d 答案 a 答案 1 1 实数与向量的积 1 a的几何意义就是把a沿着与a相同 0 或相反 1 或缩短 0 1 到原来的 倍 2 实数与向量的积的特殊情况 当 0时 a 0 当 0时 若a 0 则 a 0 3 实数与向量可以求积 但是不能进行加减运算 规律总结 2 向量共线定理共线定理有两方面的含义 向量b与非零向量a共线 则有且只有一个实数 使得b
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