苏教版 选修22 1．2 导数的运算 教案.doc

12 导数的运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求学习建议导数的运算理解熟记常见函数的导数，熟练掌握函数和、差、积(包括数乘)、商的导数的运算法则，会求简单的复合函数的导数(首先了解内函数与外函数的有关概念)二、预习指导1预习目标(1)熟记常见函数的导数；(2)掌握函数和、差、积(包括数乘)、商的导数的运算法则；(3)了解内函数与外函数的有关概念，会求简单的复合函数的导数2预习提纲(1)回忆上一节导数的概念，思考利用导数的定义求一些简单函数的导数的流程(2)阅读课本写出下列常见函数的导数：一次函数；常数函数；幂函数，正弦函数；余弦函数；指数函数和；对数函数和试写出函数的和、差、积、商的求导法则简单复合函数的导数： 复合函数： 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量，设函数u=(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 (3)课本第24页例1与例2的解题过程给你怎样的启示?3典型例题例1 利用导数的定义求下列函数的导数(1)y=x2x ；(2)分析： 首先计算的值，再化简，然后计算当无限趋近于0时，无限趋近于的常数解：(1)，当时，所以 (2)=， ，当时，即点评： 当无限趋近于0时，讨论的变化趋势时，可以看作为变量，其余的可作为常量例2 求下列函数的导数：(1) y=x3 ； (2) ；(3) ； (4)；(5)；(6)分析： 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y= x3；=等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误解： (1) (x3)=3x31=3x2；(2) ；(3) ；(4)；(5)；(6) 点评： 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，不仅要会求，而且要解题规范、结果准确例3 求曲线在点a处的切线方程分析： 先用公式求出的导数，然后利用导函数求出曲线在点处的切线斜率，最后应用点斜式写出方程解： 所求切线的斜率所求切线的方程为，即答：曲线在点的切线方程为点评： 利用常见函数的导数公式可以求出y=xn()、y=sinx及y=cosx上任一点(定义域内)处的切线斜率，从而可得任一点处的切线方程例4 已知曲线y=上的一点，求(1)点p处的切线方程；(2)过点p的切线方程分析： 考虑两个问题之间的差异，问题实质上是问题的一个部分，关键是要确定切点是什么解：(1)，因为点在曲线上且，所以点p处的切线的斜率为4，点p处的切线方程为，即12x3y16=0，(2)当点p为切点时，由知道该切线方程是12x3y16=0，若p点不是切点时，设切点为，此时有，得或(舍去)，过点p的切线的斜率为1，过点p的切线方程为，即3x3y2=0，综上所述，过点p的切线方程为：12x3y16=0或3x3y2=0点评： 虽然点p在曲线上，但未必是切点，故可分p点是否为切点两种情况讨论本题也可以先设出切点坐标，根据切点在曲线上、已知点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率这三个条件列出三个方程，解方程组求出切点坐标，同学们可以自已尝试一下例5 求下列函数的导数：(1)；(2) y=xex；(3)； (4) y=tanx； (5) y=sinxcosx； (6) y=(3x21)(2x)； (7) y=(1x2)cosx分析： 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导条件可进行适当的恒等变形解： (1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) y=(3x21)(2x)=(3x21)(2x)(3x21)(2x)=32x(2x)(3x21)(1)=9x212x1(7) y=(1x2)cosx=(1x2)cosx(1x2)(cosx)=2xcosx(1x2)(sinx)=2xcosx(1x2)sinx点评： 通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决新问题时做到举一反三、促类旁通例6 求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)分析： 利用复合函数的求导运算法则，弄清各个小题的外函数y=f(u)，及内函数u=g(x)的表达式，有的问题也可以先化简再求导解：(1)令u=4x3，则y=，故；(2)；(3)(4)， = (5)= 点评： 复合函数的导数运算一定要注意中间变量，不要忘记中间变量对自变量的求导例7 如图，酒杯的形状为倒立的圆锥杯深8cm，上口宽6cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时变化率分析：我们可以利用瞬时变化率的定义(解法一)，也可以将水深为4 cm的时刻，将水面附近的高度极小的台体近似看做圆柱体，然后对体积增量比时间增量取极限，体现出局部“以直代曲”的思想(解法二)；或者还可以建立函数关系式直接对时间求导得到(解法三，应该注意的是：高度是时间的函数，涉及到复合函数的求导法则)解：法一 设时刻s时，杯中的水的体积为cm3，水面半径为cm，水深为cm，则，记水升高的瞬时变化率为，从而由，当时，解得法二 水面高度为cm，可求得水面的半径为cm设水面高度增加时，水的体积增加，从而，故，当时，得到，于是法三 仿解法一得到，即，两边对求导得，当时，解得点评：解法一和解法二实质都是利用导数的定义求导，而解法三是利用常见函数的导数及导数的运算法则求导4自我检测(1)函数的导数是 (2)函数的导数是 (3)函数的导数是 (4)函数的导数是 (5)函数的导数是 (6)已知函数图象上a处的切线与的夹角为45，则点a的横坐标是 (7)已知函数的导数为，则 (8)若对任意，则是 (9)求下列函数的导数； f (x)=sinx2； y=sin2(2x)三、课后巩固练习a组1已知y=2，求= 2函数y=的导数是 3若函数f(x)=x3，则= 4设，则 5设函数，若，则的值为 6若对任意，则 7 若圆的半径以2 cm/s的等速度增加，则圆半径r=10 cm时，圆面积增加的速度是_ 8填空： (1) (2)(3) (4)9求下列函数的导数(1)y(2x23)(3x2) ； (2)； (3)；(4)； (5)y=x2cosx (6)f(x)=；(7)f(x)=； (8)f(x)= 10若f(x)=sincosx，则f ()等于 11设，求的值_12二次函数的导函数，且，则在r上恒成立时的取值范围是 13直线是曲线的一条切线，则实数b 14设函数，=9，则a=_ 15已知函数f(x)=2cos2x1，则 16函数y=(3sinx)4是由 两个函数复合而成的17函数的导函数 ；函数的导函数 18已知函数的导函数为，且满足，则 19曲线y=ex在x=处的切线的斜率为 20曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是 21过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 22曲线在点处的切线的斜率为 23与直线2x6y1=0垂直，且与曲线y=x33x21相切的直线方程是 b组24已知函数f(x)f()cosxsinx，则f()的值为25已知f1(x)sinxcosx，记f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nn*，n2)，则f1()f2()f2009()26抛物线y=x2和直线y=x1之间的最短距离是 27若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=_28曲线y=x24x上有两点a(4，0)、b(2，4)求：(1)割线ab的斜率kab及ab所在直线的方程；(2)在曲线ab上是否存在点c，使过c点的切线与ab所在直线平行?若存在，求出c点的坐标；若不存在，请说明理由29已知曲线，求过点p(2，4)的切线方程 30a(0，0)，b(2，2)是抛物线y=x2x上两点，在抛物线y=x2x上a与b间的求一点p，使apb面积最大31当a满足什么条件时，过点(1，a)可作曲线y=x21的两条切线32设f(x)=(x1)(2x1)3，求，33求下列函数的导数：(1)y=； (2)y=(3x5)6； (3)y=(3x8)734求下列函数的导数：(1)y=； (2)y=；(3)y=35(1)曲线y=lnax(a0)在与x轴交点a处的切线l方程是什么? (2)在(1)中，过点a且与直线l垂直的直线m，试求直线l，m与y轴围成三角形的面积s(a)的表达式36水以20立方米/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度c组37设，求的值38用求导的方法求和：12x3x2nxn1(x1)39已知曲线y=x2(x)(a0)，在点m()处的切线l与x轴的交点为(，0)，求证：当时，40设函数f(x)ax(a，bz)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数yf (x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围的三角形的面积为定值，并求出此定值知识点题号注意点求函数的导数119，3234注意函数的构成，运算函数还是复合函数；导数的应用2031，35注意在某点处的切线还是过点作函数的切线的区别综合问题3640灵活应用导数知识四