人教A版选修22 1.5定积分的概念1 学案.doc

第一章导数及其应用1.5定积分的概念1 - 学 案一、学习目标1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程二、自主学习1.如果函数yf(x)在某个区间i上的图象是一条 的曲线，那么就把它称为区间i上的连续函数2.由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为 ，如图3.把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 .对每个 “以直代曲”，即用 的面积近似代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 如图4.如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在atb内所作的位移s.1. “以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积 “分割”的目的在于 “以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确当n越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积2.用定积分的定义求定积分的技巧(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；(2) 在“近似代替”中，每个小区间上函数f(x)的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替。事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求为了运算方便，通常取一些特殊点 (3)熟记以下结论：123n，122232n2，132333n3n2(n1)2.三、合作探究 题型一 曲边梯形的面积例1求由直线x1，x2和y0及曲线yx3所围成的曲边梯形的面积思路导析：将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，求它们的和，得到曲边梯形的面积的近似值，当n趋向于，即x趋向于0时，这个近似值就无限趋近于所求的曲边梯形的面积解析：(1)把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间1,2等分成n个小区间1，2。每个小区间的长度为x.过各点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：s1，s2，sn.(2)取各小区间的左端点i，以点i的纵坐标为一边，以小区间的长度x为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形的面积第i个小曲边梯形面积可以近似地表示为six()3(i1,2，n)(3)因为每一个小矩形的面积都是可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形的面积的和就是曲边梯形面积s的近似值，即s()3。(4)当分点数目越多，即x越小时，和式的值就越接近曲边梯形的面积s，因此n，即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积因为()3(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)n2(n1)2，所以s=归纳总结：本题在求和时，可先提取公因式，再将和式进行化简会更简洁，然后再求极限变式训练：求由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积s.题型2 汽车行驶的路程例2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)，求汽车在t1到t2这段时间内运动的路程思路导析：汽车在变速行驶过程中速度是变化的，无法直接求得路程，若将行驶过程中分为一段段的小区间，在每段小区间中便可近似的看做匀速直线运动，从将变速直线运动转化为匀速直线运动解决。解析：（1）把区间1,2等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个区间的长度t，每个时间段行驶的路程记为si(i1,2，n)故路程和(2)i(i1,2，n) siv()t6()2 (i1,2,3，n)（3）6n6n（4）归纳总结：利用用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以将求变速直线运动的路程问题转化为求匀速直线运动的问题，体现了转化的思想变式训练：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为f(x)kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功. 四、自主小测1在求由xa，xb(ab)，yf(x)f(x)0及y0围成的曲边梯形的面积s时，在区间a，b上等间隔地插入n1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()n个小曲边梯形的面积和等于s；n个小曲边梯形的面积和小于s；n个小曲边梯形的面积和大于s；n个小曲边梯形的面积和与s之间的大小关系无法确定a1b2 c3 d42设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xi0时为匀加速直线运动，a0时为匀减速直线运动，对于vat2btc(a0)，及vv(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动答案：b4解析：将区间5等分所得的小区间为1，2，于是所求平面图形的面积近似等于(1)1.02.答案：1.025解：(1)把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，其长度为x，即把三角形分成一个小三角形和(n1)个小梯形，