大物习题答案1.pdf

习 题 一 1 1 一质点在平面xOy内运动 运动方程为x 2t SI 1 求质点 的运动轨道 2 求t 1s和t 2s时刻质点的位置矢量 3 求t 1s和t 2s时 刻质点的瞬时速度和瞬时加速度 4 在什么时刻 质点的位置矢量和速 度矢量垂直 这时x y分量各为多少 5 在什么时刻 质点离原点最近 最近距离为多大 解 质点的运动方程 1 消去参数t 得轨道方程为 2 把t 1s代入运动方程 得 把t 2s代入运动方程 可得 3 由速度 加速度定义式 有 所以 t时刻质点的速度和加速度为 所以 t 1s时 t 2s时 4 当质点的位置矢量和速度矢量垂直时 有 即 整理 得 解得 舍去 5 任一时刻t质点离原点的距离 令dr dt 0 可得 t 3 所以 t 3s时 质点离原点最近 r 3 6 08m 1 2 一粒子按规律沿x轴运动 试分别求出该粒子沿x轴正向运动 沿x轴负向运动 加速运动 减速运动的时间间隔 解 由运动方程可得质点的速度 1 粒子的加速度 2 由式 1 可看出 当t 3s 时 v 0 粒子沿x轴正向运动 当t 3s 时 v1s 时 a 0 粒子的加速度沿x轴正方向 当t 1s 时 a3s或0 t 1s间隔内粒子加速运动 在1s t1 因此船的速率u大于收绳速率v 2 将 1 式两边对t求导 并考虑到v是常量 所以 即 1 8 质点沿x轴运动 已知 当s时 质点在原点左边52m处 向右 为x轴正向 试求 1 质点的加速度和运动学方程 2 初速度和初位 置 3 分析质点的运动性质 解 1 质点的加速度 a dv dt 4t 又 v dx dt 所以 dx vdt 对上式两边积分 得 由题知 m 所以 c 457 3m 因而质点的运动方程为 2 3 质点沿X轴作变加速直线运动 初速度为8m s 初位置 为 457 3m 1 9 一物体沿x轴运动 其加速度与位置的关系为a 2 6x 物体 在x 0处的速度为 求物体的速度与位置的关系 解 对上式两边积分得 化简得 由题意知 故物体的速度与位置的关系为 1 10 一质点在平面内运动 其加速度 且 为常量 1 求和的表 达式 2 证明质点的轨迹为一抛物线t 0时 解 由 得 两边积分得 因 为常量 所以a是常矢量 上式变为 即 由 得 两边积分 并考虑到和a是常矢量 即 2 为了证明过程简单起见 按下列方式选取坐标系 使一个坐标轴 如x轴 与a平行 并使质点在t 0时刻位于坐标原点 这样 1 2 由前面推导过程知 3 联立 1 3 式 消去参数t得 此即为轨道方程 它为一条抛物线 1 11 在重力和空气阻力的作用下 某物体下落的加速度为 g为重 力加速度 B为与物体的质量 形状及媒质有关的常数 设t 0时物体的 初速度为零 1 试求物体的速度随时间变化的关系式 2 当加速度为 零时的速度 称为收尾速度 值为多大 解 1 由得 两边积分 得 即 由t 0时v 0 得 c g 所以 物体的速率随时间变化的关系为 2 当a 0时 有 a g Bv 0 由此得收尾速率 v g B 1 12 一质点由静止开始作直线运动 初始加速度为a 此后随t均 匀增加 经时间后 加速度变为2a 经后 加速度变为3a 求经 时间后 该质点的加速度和所走过的距离 解 由题意可设质点的加速度与时间t的关系为 k为常数 又 得 所以 故当时 质点的加速度 由得 对上式两边积分得 所以 又 对上式两边积分 经过时间后 质点所走过的距离 1 13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动 其加速a ky k为 常数 y是离开平衡位置的坐标值 设处物体的速度为 试求速度v与y 的函数关系 解 由 对上式两边积分 即 故速度v与y的函数关系为 1 14 一艘正以速率匀速行驶的舰艇 在发动机关闭之后匀减速行 驶 其加速度的大小与速度的平方成正比 即 k为正常数 试求舰艇 在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小 解 对上式两边积分 化简得 所以 l 15 一粒子沿抛物线轨道运动 且知 试求粒子在m处的速度和加 速度 解 由粒子的轨道方程 对时间t求导数 1 再对时间t求导数并考虑到是恒量 2 把m代入式 1 得 所以 粒子在m处的速度为 与x轴正方向之间的夹角 由式 2 得粒子在m处的加速度为 方向沿y轴的正方向 1 16 一质点沿半径为0 10m的圆周运动 其角位置 1 在t 2s时 它的法向加速度和切向加速度各是多少 2 切向加速度的大小恰是总加 速度大小的一半时 值为多少 3 何时切向加速度与法向加速度大小相 等 解 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度 切向加速度为 1 2 1 把t 2s代入 1 式和 2 式 得此时 2 质点的总加速度 由 得 解得 t 0 66s 所以 3 当即 时 有 t 0 55 s 1 17 火车在曲率半径R 400m的圆弧轨道上行驶 已知火车的切 向加速度 求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度 解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为 则 1 18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上 运动 周期等于地球的自转周期T 24h 求卫星离开地面的高度和卫星 的速率 距地球中心r处的重力加速度 是地球的半径 解 设同步卫星距地球的中心为r 引导速率为v 则 1 2 解式 1 2 组成的方程组得 所以 卫星距地面的高度 1 19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径 为地球半径 作圆周 运动 并且已知这时月球对登月舱的引力加速度 试计算登月舱的速率 和飞行一周所需要的时间 解 设登月舱的速率为v 周期为T 则 即 1 即 2 解式 1 2 组成的方程组得 1 20 如图所示 一卷机扬自静止开始作匀加速运动 绞索上一点 起初在A处经3s到达鼓轮的B处 然后作圆周运动 已知AB 0 45m 鼓 轮半径R 0 5m 求该点经过点C时 其速度和加速度的大小和方向 解 设指点的切向加速度为 经过B点时的速率为 法向加速度为 由题意知 1 2 3 4 联立以上四式 得 1 21 在一个转动的齿轮上 一个齿尖P沿半径为R的圆周运动 其 路程随时间的变化规律为 其中和b都是正常量 求t时刻齿尖P的速度 及加速度的大小 解 1 设时刻t齿尖P的速率为v 切向加速度 法向加速度 则 所以 t时刻齿尖P的加速度为 2 当时 有 解得 1 22 一物体作斜抛运动 抛射角为 初速度为 轨迹为一抛物线 如图所示 试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径 解 物体在A点的速度设为 法向加速度为 曲率半径为 由题图显 然有 1 g 2 3 联立上述三式得 物体在B点的速度设为 法向加速度为 曲率半径为 由题图 显然有 4 5 6 联立上述三式得 1 23 一物体作如图所示的抛体运动 测得轨道的点A处 速度的大 小为v 其方向与水平线的夹角为 求点A的切向加速度和该处的曲率半 径 解 设A点处物体的切向加速度为 法向加速度为 曲率半径 为 则 由图知 又 所以 1 24 一火炮在原点处以仰角 初速发射一枚炮弹 另有一门位于m 处的火炮同时以初速发射另一枚炮弹 其仰角为何值时 可望能与第一 枚炮弹在空中相碰 相碰时间和位置如何 忽略空气阻力的影响 解 设经过时间t后 炮弹1 炮弹2的坐标分别为 则 对炮弹1 对炮弹2 当炮弹1 炮弹2相碰时 即 1 2 解式 1 2 组成的方程组得 3 所以 相遇时的坐标设为 x y 则 1 25 河宽为d 靠河岸处水流速度变为零 从岸边到中流 河水的 流速与离开岸的距离成正比地增大 到中流处为 某人以相对水流不变 的速率v垂直水流方向驶船渡河 求船在达到中流之前的轨迹方程 解 设重物下落的加速度为 t时刻飞轮的角速度和角加速度为和 则 因为飞轮与绳子之间无相对滑动 所以 故 由题意知 t 0时刻飞轮的角速度 所以 1 26