人教A版选修21 3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 课时作业.docx

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关能力提升基础巩固1下列说法正确的是()a.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底b.空间的基底有且仅有一个c.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底d.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等解析:a项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;b项,空间基底有无数个;d项中因为基底不唯一,所以d错.故选c.答案:c2已知点a在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点a在基底i,j,k下的坐标是()a.(12,14,10)b.(10,12,14)c.(14,12,10)d.(4,3,2)解析:oa=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:a3在空间直角坐标系oxy 中,下列说法正确的是()a.向量ab与点b的坐标相同b.向量ab与点a的坐标相同c.向量ab与向量ob的坐标相同d.向量ab与向量ob-oa的坐标相同答案:d4点a(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xoy平面上的投影点的坐标分别为()a.(-1,0,1),(-1,2,0)b.(-1,0,0),(-1,2,0) c.(-1,0,0),(-1,0,0)d.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由点a在x轴投影知y=0, =0,由点a在xoy平面投影知 =0.故选b.答案:b5设i,j,k是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为,.答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6已知a,b,c是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).2a-bca+c答案:7如图,在边长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中,取点d为原点建立空间直角坐标系,已知o,m分别是ac,dd1的中点,写出下列向量的坐标.am=,ob1=.答案:(-2,0,1)(1,1,2)8如图,在梯形abcd中,abcd,ab=2cd,点o为空间任一点,设oa=a,ob=b,oc=c,则向量od用a,b,c表示为.答案:12a-12b+c9如图所示,已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求bd1的坐标.解:bd1=bd+dd1=ba+bc+dd1=-ab+ad+dd1. 以ab,ad,aa1为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则bd1=-ab+ad+dd1=-ab+ad+aa1=(-1,1,1).10已知pa垂直于正方形abcd所在的平面,m,n分别是ab,pc的中点,并且pa=ad=1,如图所示,设da=e1,ab=e2,ap=e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系axy ,求向量mn,dc的坐标.解:由题意得dc=ab=e2. pc=ac-ap=ab+ad-ap=e2-e1-e3,mn=ma+ap+pn=-12ab+ap+12pc=-12e2+e3+12(e2-e1-e3)=-12e1+12e3. mn=-12,0,12,dc=(0,1,0).能力提升1有下列叙述:在空间直角坐标系中,x轴上的点的坐标一定是(0,b,c);在空间直角坐标系中,在yo 平面上点的坐标一定可写成(0,b,c);在空间直角坐标系中,在 轴上的点的坐标可记作(0,0,c);在空间直角坐标系中,在xo 平面上点的坐标是(a,0,c).其中正确的个数是()a.1b.2c.3d.4解析:错,x轴上的点的坐标应是(a,0,0).正确.答案:c2如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ac与bd的交点为m,设a1b1=a,a1d1=b,a1a=c,则下列向量中与b1m相等的向量是()a.-12a+12b+cb.12a+12b+cc.12a-12b+cd.-12a-12b+c解析:b1m=b1b+bm=a1a+12bd=a1a+12(ba+bc)=a1a+12(b1a1+a1d1)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案:a3设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则p是q的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c为非零向量.答案:b4如图,在空间四边形oabc中,oa=a,ob=b,oc=c,点m在oa上,且om=2ma,n是bc的中点,mn=xa+yb+ c,则x,y, 的值为()a.12,-23,12b.-23,12,12c.12,12,-23d.23,23,-12答案:b5已知向量ab=(-4,-3,-1),把ab按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是.答案:(-4,-3,-1)6设i,j,k是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的关系是.解析:ab=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,ab.答案:ab7已知在空间四边形abcd中,ab=a-2c,cd=5a+6b-8c,对角线ac,bd的中点分别为e,f,则ef=.解析:ef=ea+ab+bf,且ef=ec+cd+df,两式相加,得2ef=(ea+ec)+ab+cd+(bf+df).e为ac的中点,f为bd的中点,ea+ec=0,bf+df=0.2ef=ab+cd=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.ef=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c8已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3,-1),求p在基底a,a+b,a+b+c下的坐标.解:由已知得p=2a+3b-c.设p=xa+y(a+b)+ (a+b+c)=(x+y+ )a+(y+ )b+ c,则有x+y+z=2,y+z=3,z=-1,解得x=-1,y=4,z=-1,故p在基底a,a+b,a+b+c下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体abcd-abcd,点e是上底面abcd的中心,求ae=xad+yab+ aa中x,y, 的值.解:ae=aa+ae=aa+12ac=aa+12(ab+ad)=aa+12ab+12ad=12ad+12ab+aa.ae=xad+yab+ aa,x=12,y=12, =1.10如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别是bb1,d1b1的中点,求证:ef平面b1ac.分析设ab=a,ad=c,aa1=b,把向量ef,ab1和b1c分别用a,b,c表示出来,证明efab1=0,efb1c=0即可.证明设ab=a,ad=c,aa1=b,有ab=0,ac=0,bc=0.则ef=eb1+b1f=12(