苏教版必修2 1.2.3 第4课时 直线与平面垂直的性质 学案.docx

第4课时直线与平面垂直的性质学习目标1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？答案平行梳理文字语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号语言ab图形语言1若l，则过l有无数个平面与垂直()2两垂直平面的二面角的平面角大小为90.()类型一线面垂直的性质定理及应用例1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab上一点，n是a1c的中点，mn平面a1dc.求证：mnad1.证明因为add1a1为正方形，所以ad1a1d.又因为cd平面add1a1，所以cdad1.因为a1dcdd，所以ad1平面a1dc.又因为mn平面a1dc，所以mnad1.引申探究若本例的条件不变，求证：m是ab的中点证明连结on，在a1dc中，a1ood，a1nnc，on綊cd綊ab，onam.又mnoa，四边形amno为平行四边形，onam.onab，amab，m是ab的中点反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点(2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直跟踪训练1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点e，f分别在a1d，ac上，且efa1d，efac.求证：efbd1.证明连结ab1，b1c，bd，b1d1，dd1平面abcd，ac平面abcd，dd1ac.又acbd，bddd1d，ac平面bdd1b1.又bd1平面bdd1b1，acbd1.同理可证bd1b1c，b1cacc，bd1平面ab1c.efac，efa1d，又a1db1c，efb1c.ef平面ab1c，efbd1.类型二线面垂直的综合应用例2如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为棱c1d1的中点，f为棱bc的中点(1)求证：aeda1；(2)在线段aa1上求一点g，使得直线ae平面dfg.(1)证明连结ad1，bc1，由正方体的性质可知，da1ad1，da1ab，又abad1a，da1平面abc1d1.又ae平面abc1d1，da1ae.(2)解所求g点即为a1点，证明如下：由(1)可知aeda1，取cd的中点h，连结ah，eh，由dfah，dfeh，ahehh，可证df平面ahe，ae平面ahe，dfae.又dfa1dd，ae平面dfa1，即ae平面dfg.反思与感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”跟踪训练2如图所示，在长方体abcda1b1c1d1中，ab1，bc2，cc15，m是棱cc1上一点，是否存在这样的点m，使得bm平面a1b1m？若存在，求出c1m的长；若不存在，请说明理由解假设存在点m使得bm平面a1b1m，并设c1mx，则有rtb1c1mrtbmb1.，4x25x，x4或x1.当c1m1或4时，使得bm平面a1b1m.例3如图所示，已知矩形abcd，sa平面abcd，aesb于点e，efsc于点f.(1)求证：scaf；(2)若平面aef交sd于点g，求证：agsd.证明(1)sa平面abcd，bc平面abcd，sabc.四边形abcd是矩形，abbc.又absaa，bc平面sab，又ae平面sab，bcae.又sbae，sbbcb，ae平面sbc，又sc平面sbc，aesc.又efsc，efaee，sc平面aef.又af平面aef，scaf.(2)sa平面abcd，cd平面abcd，sacd.又四边形abcd为矩形，cdad.又saada，cd平面sad.又ag平面sad，cdag.由(1)可知，sc平面aef，ag平面aef，agsc，又sccdc，ag平面scd，又sd平面scd，agsd.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可(2)证明的转化途径是线线垂直线面垂直线线垂直跟踪训练3如图所示，平面pab平面abc，平面pac平面abc，ae平面pbc，e为垂足(1)求证：pa平面abc；(2)当e为pbc的垂心时，求证：abc是直角三角形证明(1)在平面abc内任取一点d，作dfac于点f，作dgab于点g.平面pac平面abc，且交线为ac，df平面pac.pa平面pac，dfpa.同理可证dgpa.dgdfd，pa平面abc.(2)连结be并延长交pc于点h.e是pbc的垂心，pcbh.又ae平面pbc，pcae.bhaee，bh，ae平面abe，pc平面abe，pcab.由(1)知pa平面abc，paab.papcp，ab平面pac.abac，即abc是直角三角形1从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是_答案平行2线段a和b在正方体abcda1b1c1d1的两个不同平面内，使ab成立的条件是_(填序号)a和b垂直于正方体的同一个面；a和b在正方体两个相对的面内，且共面；a和b平行于同一条棱；a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案解析由直线与平面垂直的性质知，能使ab成立；由正方体的性质知，能使ab成立；由公理4知，能使ab成立；中条件不能保证ab，a与b有可能相交或异面3.如图所示，已知平面平面l，ea，垂足为a，eb，垂足为b，直线a，aab，则直线a与直线l的位置关系是_答案平行解析ea，平面平面l，即l，lea.同理leb.又eaebe，l平面eab.eb，a平面，eba.又aab，ebabb，a平面eab，al.4.如图所示，p为abc所在平面外一点，pa平面abc，abc90，aepb于点e，afpc于点f.求证：efpc.证明pa平面abc，bc平面abc，bcpa.又bcab，abpaa，bc平面pab.又ae平面pab，aebc.又aepb，ae平面pbc，aepc.又afpc，pc平面aef，又ef平面aef，efpc.1空间线面垂直与线线垂直经常相互转化判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化2垂直关系与平行关系也可以相互转化(1)线面平行的性质定理a，bab；(2)a，abb；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a，bab；(需要证明)(4)a，ab，bb.(需要证明)一、填空题1abc所在的平面为，直线lab，lac，直线mbc，mac，l，m为两条不重合的直线，则直线l，m的位置关系是_答案平行解析直线lab，lac，且abaca，l平面，同理直线m平面.由线面垂直的性质定理可得lm.2.如图，pa平面abcd，且四边形abcd为矩形，下列结论中不正确的是_(填序号)pbbc；pdcd；pobd；pabd.答案解析pa平面abcd，pabc，又abbc，bc平面pab，pbbc，故正确；同理得pdcd，故正确；由pa平面abcd，得pabd，故正确；而只有当adab时，pobd才成立故不正确3线段ab在平面的同侧，a、b到的距离分别为3和5，则ab的中点到的距离为_答案4解析ac，bd，acbd.连结cd，设ab的中点为e，cd的中点为f.则ef为梯形abdc的中位线，ef，则ef(35)4.即ab的中点到的距离为4.4圆o的半径为4，po垂直圆o所在的平面，且po3，那么点p到圆上各点的距离是_答案5解析设a为圆上任意一点，连结oa，pa.po垂直于圆o所在的平面，oa圆o所在的平面，oa4，po3，在poa中，pooa，pa5.5对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得_(填序号)a，b；a，b；a，b；a，b.答案解析对于，当a与b是异面直线时，错误；对于，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在，使a，b，正确；对于，a，b，一定有ab，故错误；对于，a，b，一定有ab，错误6若a，b表示直线(不重合)，表示平面，有下列说法：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中正确的是_(填序号)答案解析a，b，由线面垂直的性质得ab，正确；由a，ab，可得b或b，不正确；由a，ab，得b或b或b，不正确；显然成立7.如图，ab是o的直径，点c是o上的动点(点c不与a，b重合)，过动点c的直线vc垂直于o所在的平面，d，e分别是va，vc的中点，则下列结论中正确的是_(填写正确结论的序号)直线de平面abc；直线de平面vbc；devb；deab.答案解析d，e分别是va，vc的中点，deac，又de平面abc，ac平面abc，直线de平面abc，正确；vc平面abc，vcac，又acbc，vcbcc，ac平面vbc，又deac，de平面vbc，正确；vb平面vbc，devb，正确deab，显然不正确8设a，b是异面直线，下列命题：过不在a，b上的一点p一定可作一条直线和a，b都相交；过不在a，b上的一点p一定可作一个平面和a，b都垂直；过a一定可作一个平面与b垂直；过a一定可作一个平面与b平行其中正确的是_(填序号)答案解析不正确，若点p和直线a确定平面，当b时，满足条件的直线不存在不正确，若a，b都垂直于同一个平面，则ab.不正确，只有a，b垂直时才能作出满足条件的平面9.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab1，bc1的中点，则下列结论中，不正确的是_(填序号)efbb1；ef平面acc1a1；efbd；ef平面bcc1b1.答案解析由正方体的性质，得ef平面a1b1c1d1，bb1平面a1b1c1d1，efbb1，故正确；由正方体的性质，得efac，又ef平面acc1a1，ac平面acc1a1，ef平面acc1a1，故正确；由正方体的性质，得acbd，又efac，efbd，故正确；由正方体的性质，得ac与平面bcc1b1不垂直，又efac，ef与平面bcc1b1不垂直，故不对10.如图所示，设三角形abc的三个顶点在平面的同侧，aa于a，bb于b，cc于c，g，g分别是abc和abc的重心，则gg与的关系是_答案垂直解析取ab的中点m，ab的中点m，则mmbb，连结cm，cm，可知g，g分别为cm，cm的靠近中点m，m的三等分点，ggmm，ggbb.bb，gg.11.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知acbc，bccc1.设ab1的中点为d，b1cbc1e.则bc1与ab1的关系是_答案垂直解析因为棱柱abca1b1c1是直三棱柱，所以cc1平面abc.因为ac平面abc，所以accc1.又因为acbc，cc1平面bcc1b1，bc平面bcc1b1，bccc1c，所以ac平面bcc1b1.又因为bc1平面bcc1b1，所以bc1ac.因为bccc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1b1c.因为ac，b1c平面b1ac，acb1cc，所以bc1平面b1ac.又因为ab1平面b1ac，所以bc1ab1.二、解答题12.如图，已知adab，adac，aebc交bc于点e，d为fg的中点，afag，efeg.求证：bcfg.证明adab，adac，abaca，ad平面abc，adbc.又aebc，aeada，bc平面ade，在afg中，d是fg的中点，由afag，得adfg，在efg中，d是fg的中点，由efeg，得edfg，fg平面ade.又bc平面ade，bcfg.13.如图所示，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱bc的中点，点f是棱cd上的动点试确定点f的位置，使得d1e平面ab1f.解假设d1e平面ab1f.af平面ab1f，d1eaf.d1d平面abcd，af平面abcd，d1daf.d1dd1ed1，af平面d1de.de平面d1de，afde.fadade90.cdeade90，fadcde，rtfadrtedc，fdec.e是bc的中点，f是cd的中点即当点f是cd的中点时，d1e平面ab1f.三、探究与拓展14如图所示，pa圆o所在的平面，ab是圆o的直径，c是圆o上的一点，e，f分别是点a在pb，pc上的射影，给出下列结论：afpb；efpb；afbc；ae平面pbc.其中正确结论的序号是_答案解析pa平面abc，bc平面abc，pabc.又acbc，paaca，bc平面pac，bcaf.afpc，bcpcc，af平面pbc，afpb.又aepb，aeafa，pb平面aef，pbef.故正确15.如图所示，四棱柱abcda1b1c1d1的底面为菱形，且c1cbc1cdbcd60.(1)证明：c1cbd；(2)当的值为多少时，能使a1c平