苏教版必修2 1.2.2 空间两条直线的位置关系 学案.docx

1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念知识点一空间两条直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线ab与cd.梳理空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有知识点二异面直线的判断思考分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？答案不一定，可能平行、相交或异面梳理判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点三平行公理(公理4)思考在平面内有直线a，b，c，若ab，bc，则ac，该结论在空间中是否成立？答案成立梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行(2)符号表示：ac.知识点四等角定理及异面直线所成的角思考1观察图象，在平行六面体abcdabcd中，adc与adc，adc与dab的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，adcadc，adcdab180.思考2在平行六面体a1b1c1d1abcd中，bc1ad1，则“直线bc1与直线bc所成的角”与“直线ad1与直线bc所成的角”是否相等？答案相等梳理(1)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(2)异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点o，作直线aa，bb结论我们把a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为，则090特殊情况当90时，异面直线a，b互相垂直，记作ab1两直线若不是异面直线，则必相交或平行()2若abab，acac，则bacbac.()类型一公理4与等角定理的应用例1如图，已知在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd，ad的中点求证：(1)四边形mna1c1是梯形；(2)dnmd1a1c1.证明(1)如图 ，连结ac，在acd中，m，n分别是cd，ad的中点，mn是acd的中位线，mnac，且mnac.由正方体的性质，得aca1c1，且aca1c1.mna1c1，且mna1c1，即mna1c1，四边形mna1c1是梯形(2)由(1)可知，mna1c1.又nda1d1，且dnm与d1a1c1的两边的方向相同，dnmd1a1c1.反思与感悟(1)空间两条直线平行的证明定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同跟踪训练1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，m1分别是棱ad和a1d1的中点求证：(1)四边形bb1m1m为平行四边形；(2)bmcb1m1c1.证明(1)在正方形add1a1中，m，m1分别为ad，a1d1的中点，a1m1am，且a1mam，四边形amm1a1为平行四边形，a1am1m，且a1am1m.又a1ab1b，a1ab1b，m1mb1b，且m1mb1b，四边形bb1m1m为平行四边形(2)由(1)知四边形bb1m1m为平行四边形，b1m1bm.同理可得四边形cc1m1m为平行四边形，c1m1cm.由平面几何知识可知，bmc和b1m1c1都是锐角bmcb1m1c1.类型二异面直线的判断例2(1)在四棱锥pabcd中，各棱所在的直线互为异面的有_对答案8解析与ab异面的有侧棱pd和pc，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对)(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么ab，cd，ef，gh这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为ab与cd，ab与gh，ef与gh.还原的正方体如图所示反思与感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内(2)利用异面直线的判定定理(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可跟踪训练2如图所示，在三棱锥abcd中，e，f是棱ad上异于a，d的两个不同点，g，h是棱bc上异于b，c的两个不同点，给出下列说法：ab与cd互为异面直线；fh分别与dc，db互为异面直线；eg与fh互为异面直线；eg与ab互为异面直线其中说法正确的是_(填序号)答案解析因为直线dc平面bcd，直线ab平面bcd，点b直线dc，所以由异面直线的判定定理可知，正确；同理，正确1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是_答案相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示2下列四个结论中错误命题的个数是_垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线答案2解析均为错误命题可举反例，如a，b，c三线两两垂直如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点a在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点a与b重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交3在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有_对答案3解析如图，在三棱锥abcd中，ab与cd异面，bc与ad异面，ac与bd异面，所以有3对异面直线4.如图所示，在三棱锥abcd中，e，f，g，h分别是棱ab，bc，cd，da的中点，则当ac，bd满足_时，四边形efgh为菱形；当ac，bd满足_时，四边形efgh是正方形答案acbdacbd且acbd解析由题意可得efachg，且efachg，四边形efgh为平行四边形，又ehbdfg，且ehbdfg，当effg，即acbd时，四边形efgh为菱形；当effg且effg，即acbd且acbd时，四边形efgh为正方形5.如图所示，已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点(1)求证：e，f，g，h四点共面；(2)若acbd，求证：四边形efgh是矩形证明(1)如图所示，连结ef，fg，gh，he，在abd中，e，h分别是ab，ad的中点，ehbd，且ehbd.同理fgbd，且fgbd，ehfg，且ehfg，e，f，g，h四点共面(2)由(1)知ehfg，且ehfg，四边形efgh为平行四边形hg是adc的中位线，hgac.又ehbd，acbd，ehhg，四边形efgh为矩形1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)一、填空题1已知空间两个角，与的两边对应平行，且60，则_.答案60或1202如图所示，g，h，m，n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形是_(填序号)答案解析中，g，m是中点，agbm，agbm，gmabhn，gmabhn，故四边形ghnm为平行四边形，ghmn，即g，h，m，n四点共面；中，h，g，n三点共面，且都在平面hgn内，而点m显然不在平面hgn内，h，g，m，n四点不共面，即gh与mn异面；中，g，m是中点，gmcd，且gmcd，gmhn，且gmhn，即gmnh是梯形，则hg，mn必相交，即h，g，m，n四点共面；中，同，g，h，m，n四点不共面，即gh与mn异面3若aoba1o1b1且oao1a1，oa与o1a1的方向相同，则下列结论中正确的是_(填序号)obo1b1且方向相同；obo1b1；ob与o1b1不平行；ob与o1b1不一定平行答案解析如图(1)，aoba1o1b1且oao1a1但ob与o1b1不平行，故排除；如图(2)，aoba1o1b1且oao1a1，此时obo1b1，故排除4下列三种说法：若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是_答案1解析若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故不对；若ab，bc，则a，c平行、相交、异面均有可能，故不对；正确5已知在空间四边形abcd中，m，n分别是ab，cd的中点，且ac4，bd6，则mn的取值范围为_考点平行公理题点判断、证明线线平行答案(1,5)解析取ad的中点h，连结mh，nh，则mhbd，且mhbd，nhac，且nhac，且m，n，h三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得mhnhmnmhnh，即1mn5.6.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱c1d1，c1c的中点，有以下四个结论：直线am与cc1是相交直线；直线am与bn是平行直线；直线bn与mb1是异面直线；直线am与dd1是异面直线其中正确的结论为_(写出所有正确结论的序号)答案解析a，m，c，c1四点不共面，直线am与cc1是异面直线，故错；同理，直线am，bn也是异面直线，故错；同理，直线bn与mb1是异面直线，直线am与dd1是异面直线，正确7.如图所示，设e，f，g，h依次是空间四边形abcd边ab，bc，cd，da上除端点外的点，则下列结论中不正确的是_(填序号)当时，四边形efgh是平行四边形；当时，四边形efgh是梯形；当时，四边形efgh一定不是平行四边形；当时，四边形efgh是梯形答案解析由，得ehbd，且.同理得fgbd，且.当时，ehfg且ehfg.当时，ehfg，但ehfg.所以只有错误8如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有_对答案24解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4624(对)9一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：abef；ef与mn是异面直线；mncd.以上结论中正确的序号为_答案解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，abef，ef与mn是异面直线，abcm，mncd，所以只有正确10从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_答案4解析正方体共有8个顶点，若选出的k条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，k的最大值为4.二、解答题11.如图所示，四边形abef和abcd都是直角梯形，badfab90，bcad，且bcad，befa，且befa，g，h分别为fa，fd的中点(1)证明：四边形bchg是平行四边形；(2)判断c，d，f，e四点是否共面？为什么？(1)证明由已知得fgga，fhhd，可得ghad，且ghad.又bcad，且bcad，ghbc，且ghbc，四边形bchg为平行四边形(2)解由beaf，且beaf，g为fa的中点知，befg，且befg，四边形befg为平行四边形，efbg.由(1)知bgch，且bgch，efch，ef与ch共面又dfh，c，d，f，e四点共面12.如图所示，abc和abc的对应顶点的连线aa、bb、cc交于同一点o，且.(1)求证：abab，acac，bcbc；(2)求的值(1)证明aabbo，且，abab，同理acac，bcbc.(2)解abab，acac且ab和ab，ac和ac方向相反，bacbac.同理abcabc，acbacb，abcabc且，2.三、探究与拓展13设p是直线l外一定点，过点p且与l成30角的异面直线有_条答案无数解析如图所示，过点p作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角