苏教版必修2 2.1.1 直线的斜率 学案.docx

2.1直线与方程2.1.1直线的斜率学习目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能思考2在平面直角坐标系中，过定点p的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同梳理(1)倾斜角的定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)直线的倾斜角的取值范围为0180.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可知识点二直线的斜率与倾斜角的关系1直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan .2斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0知识点三过两点的直线的斜率公式已知两点p(x1，y1)，q(x2，y2)，如果x1x2，那么直线pq的斜率为k(x1x2)1任一直线都有倾斜角，都存在斜率()2若直线的倾斜角为，则0180.()3若一条直线的倾斜角为，则它的斜率ktan .()类型一直线的倾斜角例1图中是直线l的倾斜角吗？试用表示图中各条直线l的倾斜角解设直线l的倾斜角为，结合倾斜角的定义可知，图中是直线l的倾斜角，即.图中不是直线l的倾斜角，但与互补，即有180.图中不是直线l的倾斜角，但与是对顶角，故.图中不是直线l的倾斜角，但90.反思与感悟(1)解答此类问题要注意倾斜角的概念及倾斜角的取值范围(2)求直线的倾斜角主要根据定义，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为_答案60或120解析有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60.如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角为120.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)a(2,3)，b(4,5)；(2)c(2,3)，d(2，1)；(3)p(3,1)，q(3,10)解(1)存在直线ab的斜率kab1，即tan 1，又0180，所以倾斜角45.(2)存在直线cd的斜率kcd1，即tan 1，又0180，所以倾斜角135.(3)不存在因为xpxq3，所以直线pq的斜率不存在，倾斜角90.反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点p1，p2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置(2)在00知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k30知，直线l3的倾斜角为0.类型三直线的倾斜角、斜率的应用例3如果三点a(2,1)，b(2，m)，c(6,8)在同一条直线上，求m的值解kab，kac，a，b，c三点共线，kabkac，即，m6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因跟踪训练3已知倾斜角为90的直线经过点a(2m,3)，b(2，1)，则m的值为_答案1解析由题意可得2m2，解得m1.例4已知直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围解如图所示kap1，kbp，k(，1，)，45120.反思与感悟(1)直线的倾斜角与斜率的关系k具体变化规律：当倾斜角为0时，斜率k为0，直线平行于x轴或与x轴重合；当倾斜角为锐角时，斜率k为正且随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为90时，斜率k不存在，直线平行于y轴或与y轴重合；当倾斜角为钝角时，斜率k为负且随着倾斜角的增大而增大，其值可以由与之互补的锐角求得(2)研究直线的斜率的变化规律，通常先研究直线倾斜角的变化情况，再根据它们之间的关系求出斜率的范围(3)代数式的几何意义表示动点p(x，y)与定点q(x0，y0)连线的斜率跟踪训练4已知a(3,3)，b(4,2)，c(0，2)若点d在线段bc上(包括端点)移动，求直线ad的斜率的变化范围解如图所示当点d由b运动到c时，直线ad的斜率由kab增大到kac，kab，kac，所以直线ad的斜率的变化范围是.1对于下列说法：若是直线l的倾斜角，则01时，tan 0，090.综上，090.5已知交于点m(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点n(5,3)，求这四条直线的倾斜角解l2的斜率为1，l2的倾斜角为45，由题意可得：l1的倾斜角为22.5，l3的倾斜角为67.5，l4的倾斜角为90.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况与x轴平行或重合垂直于x轴的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大一、填空题1已知l1l2，直线l1的倾斜角为60，则直线l2的倾斜角为_答案150解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90，由l1的倾斜角为60知，l2的倾斜角为150.2已知三角形的顶点a(0,5)，b(1，2)，c(6，m)，当ac所在的直线的斜率为1时，则直线bc的斜率为_答案解析当kac1时，由斜率公式可得1，解得m1，所以直线bc的斜率k.3若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2)，则此直线的倾斜角是_答案30解析由题意知k，直线的倾斜角为30.4已知点a(3,4)，在坐标轴上有一点b，若kab2，则b点的坐标为_答案(1,0)或(0，2)解析若点b在x轴上，设b(x,0)，由2，得x1；若点b在y轴上，设b(0，y)，由2，得y2.所以b点坐标为(1,0)或(0，2)5.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为_答案k1k3k2解析由题图可知，k10，k30，且l2比l3的倾斜角大k1k3k2.6若经过两点a(4,2y1)，b(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_.答案3解析由ktan 1351，得42y2，y3.7若三点a(2,2)，b(a,0)，c(0，b)(ab0)共线，则_.答案解析由于a，b，c三点共线，所以此直线的斜率既可用a，b两点的坐标表示，也可用a，c两点的坐标表示，于是有，由此可得abab，两边同时除以ab，得.8已知直线l过点a(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是_答案2解析如图，koa2，kl0，只有当直线落在图中所示的位置时才符合题意，故k0,2故直线l的斜率k的最大值为2.9若经过点a(1t,1t)和点b(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是_答案(2,1)解析由题意知，kab.因为直线的倾斜角为钝角，所以kab0，解得2t1.10若点p(x，y)在以a(3,1)，b(1,0)，c(2,0)为顶点的abc的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是_答案解析根据已知的条件，可知点p(x，y)是点a，b，c围成的abc内一动点，那么所求的几何意义是过动点p(x，y)与定点m(1,2)的直线的斜率由已知，得kam，kbm1，kcm.利用图象，可得的取值范围是.11若直线l经过a(2,1)，b(1，m2)(mr)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_答案0，45(90，180)解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，180)，当0tan 1时，045；当tan 0时，90180.0，45(90，180)二、解答题12已知三点a(0，a)，b(2,3)，c(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角解因为三点的横坐标不相等，所以三点所在直线的斜率存在由斜率公式可得kab.kbc.因为三点在一条直线上，所以kabkbc，即，解得a1.此时这条直线的斜率kkab1，设这条直线的倾斜角为，所以tan 1，又00，解得m2.(2)若直线mn的倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k0，解得m2.(3)当直线mn垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m3m2，此方程无解，故直线mn的倾斜角不可能为直角三、探究与拓展14已知坐标平面内三点a(1,1)，b(1,1)，c(2，1)若d为abc的边ab上一动