苏教版必修2 1.2.3 第5课时 线面垂直的综合应用 学案.docx

第5课时线面垂直的综合应用学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用知识点一直线与平面所成的角思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0的角直线与平面所成的角的取值范围是0，90梳理有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线pa斜足斜线与平面的交点，图中点a射影过平面外一点p向平面引斜线和垂线，那么过斜足a和垂足o的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段oa就是斜线段pa在平面内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为pao，规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0的角取值范围设直线与平面所成的角为，则090知识点二两种距离1点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离2直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离类型一与线面角有关的问题例1已知bac在平面内，p，pabpac.求证：点p在平面内的射影在bac的平分线上证明如图所示，作po，peab，pfac，垂足分别为o，e，f，连结oe，of，oa.rtpaertpafaeaf.ab平面peoaboe.同理，acof.在rtaoe和rtaof中，aeaf，oaoa，所以rtaoertaof.于是eaofao，因此，点p在内的射影o在bac的平分线上反思与感悟(1)求直线和平面所成角的步骤寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口跟踪训练1如图所示，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90，bc1ac，c1hab，证明：点h是c1在平面abc内的射影证明连结ac1.bac90，abac，又acbc1，bc1abb，ac平面abc1.又c1h平面abc1，acc1h.又abc1h，abaca，c1h平面abc，点h是c1在平面abc上的射影类型二直线与平面垂直的判定与性质的综合应用例2如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点求证：(1)cdae；(2)pd平面abe.证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd.accd，paaca，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)知，aecd，又pccdc，ae平面pcd.而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，pd在底面abcd内的射影是ad，又abad，abpd.又abaea，pd平面abe.反思与感悟证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想跟踪训练2如图，直三棱柱abca1b1c1中，bac90，abaca，aa12a，d为棱b1b的中点求证：(1)a1c1平面acd；(2)直线a1d平面adc.证明(1)在直三棱柱abca1b1c1中，aca1c1.又a1c1平面acd，ac平面acd，a1c1平面acd.(2)a1b1d和abd都为等腰直角三角形，a1db1adb45，a1da90，即a1dad.在直三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，a1aac.又bac90，acab.aa1aba，ac平面a1abb1，又a1d平面a1abb1，aca1d.又adaca，ad，ac平面adc，a1d平面adc.1下列说法：平面的斜线与平面所成的角的取值范围是090；直线与平面所成的角的取值范围是090；若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等其中正确的是_(填序号)答案解析应为090；中这两条直线可能平行，也可能相交或异面2ab是平面的斜线段，其长为a，它在平面内的射影ab的长为b，则垂线aa的长为_答案3在长方体abcda1b1c1d1中，mn在平面bcc1b1内，mnbc于m，则mn与ab的位置关系为_答案垂直解析ab平面bcc1b1，又mn平面bcc1b1，abmn.4.若长方体abcda1b1c1d1的底面边长为1，ab1与底面abcd成60角，则a1c1到底面abcd的距离为_答案解析依题可知b1ab60，a1c1平面abcd，a1a平面abcd，a1a即为a1c1到底面abcd的距离由题意得a1ab1b.5.如图所示，平面abb1a1为圆柱oo1的轴截面，点c为底面圆周上异于a，b的任意一点(1)求证：bc平面a1ac；(2)若d为ac的中点，求证：a1d平面o1bc.证明(1)ab为o的直径，点c为o上的任意一点，bcac.又在圆柱oo1中，aa1底面o，aa1bc，又aa1aca，bc平面a1ac.(2)取bc的中点e，连结de，o1e，d为ac的中点，在abc中，deab，且deab，又在圆柱oo1中，a1o1ab，且a1o1ab，dea1o1，dea1o1，四边形a1deo1为平行四边形，a1deo1.而a1d平面o1bc，eo1平面o1bc，a1d平面o1bc.立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线一、填空题1如图，在abc中，bac90，pa平面abc，abac，d是bc的中点，则图中直角三角形的个数是_答案8解析在rtabc中，bac90，pa平面abc，abpa，pada，paac.abac，d是bc的中点，adbc，bpcp，可得pdbc，图中直角三角形有pac，pab，pad，abc，abd，adc，bpd，dpc，共8个2下列命题：ab; b；ab; a；b； b或b.其中正确的命题是_(填序号)答案3已知abc的三条边长分别是5,12,13，点p到a，b，c三点的距离都等于7，则点p到平面abc的距离为_答案解析由点p到abc三个顶点的距离相等可知，p在平面abc上的射影为abc的外心abc为直角三角形，其外心是斜边的中点，即点p在平面abc上的射影是abc斜边的中点d，如图点p到平面abc的距离为pd.4下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点m，n，p分别为其所在棱的中点，能得出l平面mnp的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形的序号)答案解析设定正方体的顶点如图，连结db，ac，m，n分别为中点，mnac.四边形abcd为正方形，acbd.bb平面abcd，ac平面abcd，bbac.bbdbb，bb平面dbb，db平面dbb，ac平面dbb，db平面dbb，acdb.mnac，dbmn，同理可证dbmf，dbnf，mfnff，mf平面mnf，nf平面mnf，db平面mnf，即l垂直于平面mnp，故正确；中由证明可知lmp，mnac，acl，lmn，l平面mnp.5.如图，abcda1b1c1d1为正方体，下列结论中正确的是_(填序号)bd平面cb1d1；ac1平面cb1d1；过点a1与异面直线ad和cb1成90角的直线有2条答案解析由题图可知，在正方体abcda1b1c1d1中，由于bdb1d1，由直线和平面平行的判定定理可得bd平面cb1d1，故正确；由正方体的性质可得b1d1a1c1，cc1b1d1，故b1d1平面acc1a1，故b1d1ac1.同理可得b1cac1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得ac1平面cb1d1，故正确；过点a1与直线ad成90角的直线必和bc也垂直，过点a1与cb1成90角的直线必和cb1垂直，则该直线必和平面b1c1cb垂直，满足条件的只有直线a1b1，故不正确6已知平面外两点a，b到平面的距离分别是2和4，则a，b的中点p到平面的距离是_答案3或1解析若a，b在同侧，如图，则p到的距离为3；若a，b在异侧，如图，则p到的距离为pooo321.7如图，直线pa垂直于圆o所在的平面，abc内接于圆o，且ab为圆o的直径，点m为线段pb的中点现有以下命题：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的命题为_(填序号)答案解析pa平面abc，bc平面abc，pabc，ab是圆o的直径，acbc，又pa平面pac，ac平面pac，paaca，bc平面pac，pc平面pac，bcpc，故正确m是pb的中点，o是ab的中点，ompa，pa平面pac，om平面pac，om平面pac.故正确8.如图，平面abc平面abd，acb90，cacb，abd是正三角形，o为ab中点，则图中直角三角形的个数为_考点平面与平面垂直的性质题点应用面面垂直的性质判定线线垂直答案6解析cacb，o为ab的中点，coab.又平面abc平面abd，平面abc平面abdab，co平面abc，co平面abd.od平面abd，cood，cod为直角三角形图中的直角三角形有aoc，cob，abc，aod，bod，cod共6个9.如图所示，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，当底面四边形a1b1c1d1满足条件_时，有a1cb1d1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)答案b1d1a1c1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知cc1面a1b1c1d1，所以cc1b1d1，要使b1d1a1c，只要b1d1平面a1cc1，所以只要b1d1a1c1，还可以填写四边形a1b1c1d1是菱形、正方形等条件10.如图是底面边长为a的正三棱柱(侧棱与底面垂直且底面为正三角形的棱柱)，则aa1到平面bb1c1c的距离为_答案a解析aa1bb1，aa1平面bb1c1c，aa1到平面bb1c1c的距离等于a到平面bb1c1c的距离取bc的中点d，连结ad，则adbc.又adbb1.ad平面bb1c1c.又adabsin 60a，aa1到平面bb1c1c的距离为a.11在正方体abcda1b1c1d1中，点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，并且总是保持ap与bd1垂直，则动点p的轨迹为_答案线段cb1解析如图，先找到一个平面总是保持与bd1垂直，连结ac，ab1，b1c，在正方体abcda1b1c1d1中，易得bd1cb1，bd1ac，则bd1平面acb1，又点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，根据平面的基本性质，得点p的轨迹为平面acb1与平面bcc1b1的交线段cb1.二、解答题12在边长为2的正方形abcd中，点e，f分别是ab，bc的中点，将aed，dcf分别沿de，df折起，使a，c两点重合于点a，求证：adef.证明在正方形abcd中，有adae，cdcf，则adae，adaf.又aeafa，ae，af平面aef，ad平面aef，又ef平面aef，adef.13.如图，在正三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点，bc2，bb1，求证：(1)a1c平面ab1d；(2)bc1平面ab1d.证明(1)连结a1b，交ab1于点o，连结od，则点o是a1b的中点又点d是bc的中点，所以a1cod.又od平面ab1d，a1c平面ab1d，所以a1c平面ab1d.(2)因为d为bc的中点，所以adbc.在正三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，ad平面abc，所以adbb1.又bcbb1b，bc平面bcc1b1，bb1平面bcc1b1，所以ad平面bcc1b1.又bc1平面bcc1b1，所以adbc1.设b1dbc1f，在rtdbb1和rtbb1c1中，所以dbb1bb1c1，所以bdfc1bb1.又c1bb1fbd90，所以bdffbd90，所以bc1b1d.又bc1ad，adb1dd，ad平面ab1d，b1d平面ab1d，所以bc1平面ab1d.三、探究与拓展14.如图，已知ab是圆o的直径，c为圆上一点，ab2，ac1，p为o所在平面外一点，且pa垂直于圆o所在平面，pb与平面abc所成的角为45.(1)求证：bc平面pac；(2)求点a到平面pbc的距离(1)证明pa平面abc，pabc.ab是圆o的直径，c为圆上一点，bcac.又paaca，pa，ac平面pac，bc平面pac.(2)解如图，过点a作adpc于点d，bc平面pac，ad平面pac，bcad，ad平面pbc，ad即为点a到平面pbc的距离pba为pb与平面abc所成的角，即pba45，paab2，ac1，可得pc.adpcpaac，ad，即点a到平面pbc的距离为.15.如图，三棱柱abca1b1c1的底面是边长为4的正三角