苏教版必修2 第二章 2．1　直线与方程 教案.doc

第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率日常生活中，常用坡度(坡度)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.问题1：可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以已知两点p(x1，y1)，q(x2，y2)(1)若x1x2，则直线pq的斜率不存在(2)若x1x2，则直线pq的斜率k，还可以看作是k.(3)对于一条与x轴不垂直的定直线而言，它的斜率是一个定值.如图，在平面直角坐标系中，给定一条直线l.问题1：若直线l过点p，直线的位置能够确定吗？提示：不能问题2：过点p可作与l相交的直线多少条？提示：无数条问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度？提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0(2)倾斜角的范围是0180(3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足：ktan_1对于直线的倾斜角要把握(1)定义中三个条件x轴正方向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾斜程度(3)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，倾斜角相等2直线的斜率与倾斜角的关系(1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为(90)，则直线l的斜率ktan .(2)从几何图形上看直线情形的大小00909090180k的大小0ktan 不存在ktan tan(180)k的范围0k0不存在k0 例1图中是直线l的倾斜角吗？试用表示图中各条直线l的倾斜角思路点拨明确直线倾斜角概念是解决本题的关键精解详析设直线l的倾斜角为，结合倾斜角的定义可知，图中是直线l的倾斜角，即.图中不是直线l的倾斜角，但与互补，即有180.图中不是直线l的倾斜角，但与是对顶角，故.图中不是直线l的倾斜角，但90.一点通解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围，结合图形求角时，注意平面几何知识的应用1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为_解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.答案：60或1202设直线l过坐标原点，它的倾斜角为(135180)，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为_解析：画图(如图所示)，由于135180，故180450，若平面内三点a(1，a)，b(2，a2)，c(3，a3)共线，则a_解析：a，b，c三点共线，kabkbc，即，又a0，a1.答案：15若点p(x，y)在线段ab：y1(2x2)上运动，则的取值范围是_解析：如图所示，的几何意义为点(x，y)与(0，0)连线的斜率，或.答案：6已知过点(，1)及点(0，b)的直线的倾斜角满足3060，求b的取值范围解：3060，ktan .又直线过点(，1)及点(0，b)，k，.2b0，b0)，则由已知可得.当ab时，可化为解得或(舍去)；当ab时，可化为解得或(舍去)所以，直线l的方程为y1或x1，即x4y40或4xy40.第4课时一般式方程目前为止，已学习过的直线方程有：问题1：上述形式的直线方程与二元一次方程的一般形式有何联系？提示：都可以化为二元一次方程的一般形式问题2：二元一次方程可以表示直线方程吗？提示：可以(1)直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程axbyc0(其中a，b不全为0)来表示在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程axbyc0(其中a，b不全为0)都表示一条直线(2)直线的一般式方程关于x，y的二元一次方程 axbyc0(其中a，b不全为0)，叫做直线的一般式方程1由直线方程的推导可知，平面直角坐标系中的任一条直线的方程都可以写成关于x，y的二元一次方程axbyc0(a、b不同时为0)的形式2给出关于x，y的二元一次方程axbyc0，其中a，b不同时为0.(1)若b0，则该方程可化为直线的斜截式方程yx.(2)若b0，则该方程可化为与y轴平行或重合的直线方程x.综合1、2可知二元一次方程axbyc0(a，b不同时为0)与平面坐标系中的直线是一一对应关系例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1)斜率是，且经过点a(2，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为1；(3)经过a(1，5)，b(2，1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是3，1.思路点拨选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式精解详析(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y3(x2)，化为一般式为：xy320.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y4x1，化为一般式为4xy10.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：.化为一般式方程为：2xy30.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为1，化成一般式方程为x3y30.一点通求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式1斜率为，且在y轴上的截距为4的直线的一般式方程为_解析：由直线的斜截式方程可得yx4，化成一般式方程为xy40.答案：xy402斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_解析：设直线方程为yxb，令y0，得xb，|b()|6，b3，所以，所求直线方程为3x4y120或3x4y120.答案：3x4y120或3x4y120例2设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6.根据下列条件确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为3.(2)直线l的斜率是1.思路点拨首先将直线l的一般式方程化为斜截式方程，然后根据条件列关于m的方程组求解即可精解详析由题意知，直线l方程可化为yx，(1)要满足l在x轴上的截距为3，需有解之得m.(2)要满足直线l的斜率为1，需有解之得m2.一点通把直线方程一般式axbyc0化成其它形式时，要注意式子成立的条件，特别是当b0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式3如果ac0，bc0，那么直线axbyc0不通过第_象限解析：法一：b0，直线方程可化为yx.ac0，bc0，a，b同号，k0，又0，直线过一、二、四象限，不过第三象限法二：a，b，c均不为0，将直线方程化为1，由已知得直线在坐标轴上的截距均为正，易知，直线不过第三象限答案：三4把直线l的方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴和y轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得2yx6，两边除以2，得斜截式方程为yx3，令x0，可得y3；令y0，可得x6.因此，直线l的斜率k，它在x轴上的截距为6，在y轴上的截距为3.由上述过程可得直线l与x轴、y轴的交点分别为a(6，0)、b(0，3)，如图所示，过点a，b作直线，就得直线l.例3设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围思路点拨(1)两坐标轴上的截距相等，可考虑用截距式求方程，但不能漏掉“零截距”情况(2)直线不过第二象限可考虑斜率大于0，在y轴上的截距非正，也可用在坐标轴上的截距正负判断，注意截距为0时的特殊情况精解详析(1)由题意知a10，即a1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上截距都为零，当然相等此时a2，即方程为3xy0；当a2时，化方程为截距式：1.截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，方程即为xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，直线不过第二象限，如图a1.即a的取值范围是a1.一点通(1)由直线的一般式方程向其他形式转化时，要注意其中的字母系数是否为零；(2)由于截距可以为零，原点不属于任何象限，所以本题求解时一定要展开讨论，否则将出现漏解5直线(2a27a3)x(a29)y3a20的倾斜角为45，则实数a_解析：由题意，斜率存在，倾斜角为45，则斜率k1，解得a.答案：6无论m，n取何实数值，直线(3mn)x(m2n)yn0都过一定点p，则p点的坐标为_解析：方程可化为(3xy)m(x2y1)n0，由解得直线恒过定点.答案：1直线方程形式的选择技巧一般地，已知一点通常选择点斜式，已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式，另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式2直线方程的一般式和其他形式互化课下能力提升(十五)1斜率为3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是_解析：由点斜式公式得y3(x2)，即3xy60.答案：3xy602已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a_，b_解析：由axby10在y轴上截距为1，1，b1又xy0的倾斜角为60.直线axby10的斜率tan 120.a.答案：13直线l的方程为axbyc0，若l经过原点和第二、四象限，则a，b，c应满足_解析：l过原点，则c0，又过二、四象限，则0即ab0.答案：ab0且c04两条不重合的直线l1，l2在y轴上的截距都是b(b0)，在x轴上的截距的绝对值是a，则l1，l2与x轴围成的三角形的面积为_解析：由题意可知，l1、l2与x轴围成的三角形的面积为s2a|b|a|b|.答案：a|b|5设abk(k0，k为常数)，则直线axby1恒过定点_解析：axby1变形为ax(ka)y1，a(xy)ky10，对于任何ar都成立，则解得答案：6直线xy10上一点p的横坐标是3，把已知直线绕p点逆时针方向旋转90后得直线l，求直线l的方程解：把x3代入直线方程xy10中，得y4，p(3，4)直线xy10的斜率为1，该直线的倾斜角为45，直线l的倾斜角应为135，可知其斜率为1.由点斜式得直线l的方程为y4(x3)，即xy70.7已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围解：(1)证明：将直线l的方程整理为ya，所以l的斜率为a，且过定点a，而点a在第一象限，故不论a为何值，直线l总经过第一象限(2)直线oa的斜率为k3.l不经过第二象限，a3.8直线l过点p(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，o为坐标原点(1)当aob的周长为12时，求直线l的方程；(2)当aob的面积为6时，求直线l的方程解：(1)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12，又因为直线l过点p(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12，1，消去b，得a26a80，解得所以直线l的方程为3x4y120或3xy60.第5课时两条直线平行观察下图平面直角坐标系中两条直线回答下列问题问题1：图中两对直线有什么位置关系？提示：平行问题2：平行的两条直线的倾斜角有什么关系？提示：相等问题3：若两条直线平行，则它们的斜率相等吗？提示：不一定，当两条直线平行且与x轴垂直时斜率不存在两条直线平行对两直线平行与斜率的关系要注意(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1l2.(3)两条不重合的直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在例1判断下列各题中直线l1与l2是否平行(1)l1的斜率为1，l2经过点p(1，1)，q(3，3)；(2)l1经过点a(3，2)，b(3，10)，l2经过点c(5，2)，d(5，5)；(3)l1经过点a(0，1)，b(1，0)，l2经过点c(1，3)，d(2，0)思路点拨依据斜率公式，求出斜率，利用l1l2或l1，l2重合k1k2或k1，k2不存在判断精解详析(1)k11，k21，k1k2，l1与l2重合或l1l2.(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1l2.(3)k11，k21，k1k2，数形结合知l1l2.一点通判断两条直线平行的方法1下列各组直线中，两条直线互相平行的是_y3x1与2y6x40yx与2x2y504x3y5与8x6y10xy10与x3y60解析：平行，重合，相交答案：2已知a(0，1)，b(1，0)，c(3，2)，d(2，3)，试判断四边形abcd是否为平行四边形？解：直线ab的斜率kab1.直线cd的斜率kcd1.kabkcd.如图，直线ab与直线cd不重合直线ab直线cd，即abcd.直线bc的斜率kbc1，直线da的斜率kda1，kbckda，如图，直线bc与直线da不重合直线bc直线da.bcda.因此四边形abcd是平行四边形例2已知直线l1：mxy(m1)0，l2：xmy2m0，当m为何值时，(1)直线l1与l2互相平行？(2)直线l1与l2重合？思路点拨为避免讨论，可利用方程系数的关系判断精解详析(1)若l1l2，需满足解得m1.即当m1时，l1l2.(2)若l1与l2重合，需满足解得m1.即当m1时，l1与l2重合一点通(1)此类问题需依据直线平行的条件，列关于参数的方程或方程组求解(2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合时，为避免讨论，有如下方法：l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.l1l2l1与l2重合3若直线l1：axy2a0与l2：xay30互相平行，则实数a_解析：由于两直线平行，所以a210，解得a1.答案：14已知直线l1经过点a(0，1)和点b(，1)，直线l2经过点m(1，1)和点n(0，2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为_解析：由已知得l1l2，则，解得a6.答案：6例3求过点(2，1)且与直线3x4y20平行的直线方程思路点拨可利用平行关系求出斜率，再求直线方程；或利用平行直线系方程求解精解详析法一：由题意设所求直线方程为y1k(x2)，又它与直线3x4y20平行，所以两直线斜率相等，即k，故所求直线方程为y1(x2)，即3x4y100.法二：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为3x4yc0(c2)又过点(2，1)，所以324(1)c0，即c10.所以所求直线方程为3x4y100.一点通平行直线方程的求法(1)若直线l与已知直线ykxb平行，则可设l的方程为ykxm(mb)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程(2)若直线l与已知直线axbyc0平行，则可设l的方程为：axbym0(mc)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程5过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程为_解析：设所求直线方程为x2yc0，则120c0，c1，故所求方程为x2y10.答案：x2y106已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解：直线l与l1平行，klkl12.又直线l与直线l2在y轴上的截距相同，直线l的方程为y2x2，即2xy20.1判断两不重合直线平行的方法(1)利用斜率判断：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在(2)利用方程中系数来判断：l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.l1l2a1b2a2b10且a1c2a2c10.2求与已知直线平行的直线方程的求法(1)利用平行直线系方程求解，这是常用方法(2)利用平行关系求斜率，进而求解课下能力提升(十六)1下列命题：若两直线斜率相等，则两直线平行；若两直线平行，则斜率相等；两条直线的斜率，若一个存在另一个不存在，则两直线不平行；若不重合的两条直线的斜率都不存在，则两条直线平行其中正确命题的序号是_解析：均错误，因为未考虑重合的情况，未考虑斜率不存在的情况；正确答案：2l1经过点a(m，1)，b(3，4)，l2经过点c(1，m)，d(1，m1)，当直线l1与l2平行时，则m的值为_解析：kab，kcd.又l1l2，.即m3.答案：33直线xa2y60和直线(a2)x3ay2a0没有公共点，则a的值是_解析：两直线没有公共点，即两直线平行，故3a1(a2)a20且2a6(a2)0，解得a0或a1.答案：0或14已知直线l1：axby60，l2：3x2y10，l1在y轴上的截距为1，且l1l2，则ab_解析：l1在y轴上截距为1，l1过点(0，1)，a0b160，即b6.又l1l2，k1k2，即，a9，ab3.答案：35已知abcd的三个顶点的坐标分别是a(0，1)，b(1，0)，c(4，3)，则顶点d的坐标是_解析：设d(m，n)，由题意，得abdc，adbc，则有kabkdc，kadkbc.所以解得m3，n4.所以d(3，4)答案：(3，4)6已知直线l1的倾斜角为60，直线l2经过点a(1，)，b(2，2)，判断直线l1，l2的位置关系解：由题意可知直线l1的斜率k1tan 60，直线l2的斜率k2，因为k1k2，所以l1l2或l1，l2重合7已知abc的三边bc，ca，ab的中点分别是d(1，4)，e(3，1)，f(2，4)，求abc三边所在直线的方程解：由题意，de是abc的中位线，所以deab，即ka