人教A版选修21 3.2立体几何中的向量方法（一） 教案.docx

3.2立体几何中的向量方法（一）教学目标 1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题2过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义3情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题直线的方向向量与平面的法向量问题导思1如图321，直线lm，在直线l上取两点a、b，在直线m上取两点c、d，向量与有怎样的关系？图321【答案】.2如图直线l平面，直线lm，在直线m上取向量n，则向量n与平面有怎样的关系？【答案】n.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a(a1，b1，c1)，的法向量为u(a2，b2，c2)，则lau0a1a2b1b2c1c20面面平行设，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)课堂探究求平面的法向量例1已知abcd是直角梯形，abc90，sa平面abcd，saabbc1，ad，试建立适当的坐标系图322(1)求平面abcd与平面sab的一个法向量(2)求平面scd的一个法向量解以点a为原点，ad、ab、as所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(1,1,0)，d(，0,0)，s(0,0,1)(1)sa平面abcd，(0,0,1)是平面abcd的一个法向量adab，adsa，ad平面sab，(，0,0)是平面sab的一个法向量(2)在平面scd中，(，1,0)，(1,1，1)设平面scd的法向量是n(x，y，z)，则n，n.所以得方程组令y1得x2，z1，n(2，1,1)变式训练正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为棱a1d1、a1b1的中点，在如图323所示的空间直角坐标系中，求：图323(1)平面bdd1b1的一个法向量(2)平面bdef的一个法向量解设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则d(0,0,0)，b(2,2,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，e(1,0,2)(1)连ac，因为ac平面bdd1b1，所以(2,2,0)为平面bdd1b1的一个法向量(2)(2,2,0)，(1,0,2)设平面bdef的一个法向量为n(x，y，z)令x2得y2，z1.n(2，2,1)即为平面bdef的一个法向量.利用空间向量证明线线平行例2长方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是面对角线b1d1，a1b上的点，且d1e2eb1，bf2fa1.求证：efac1.解如图所示，分别以da，dc，dd1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设daa，dcb，dd1c，则得下列各点的坐标：a(a,0,0)，c1(0，b，c)，e(a，b，c)，f(a，c)(，)，(a，b，c)，.又fe与ac1不共线，直线efac1.变式训练如图324所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为dd1和bb1的中点求证：四边形aec1f是平行四边形图324证明以点d为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，e(0,0，)，c1(0,1,1)，f(1,1，)，(1,0，)，(1，0，)，(0,1，)，(0,1，)，又fae，fec1，aefc1，ec1af，四边形aec1f是平行四边形.利用空间向量证明线面平行例3如图325，在正三棱柱abca1b1c1中，d是ac的中点，求证：ab1平面dbc1.图325解以a为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为a(a0)，侧棱长为b(b0)，则a(0,0,0)，b(a，0)，b1(a，b)，c1(0，a，b)，d(0，0)，(a，b)，(a,0,0)，(0，b)设平面dbc1的一个法向量为n(x，y，z)，则不妨令y2b，则n(0,2b，a)由于nabab0，因此n.又ab1平面dbc1，ab1平面dbc1.变式训练在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e，f，e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点求证：ce平面c1e1f.证明以d为原点，以da，dc，dd1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图设bc1，则c(0,1,0)，e(1,0,1)，c1(0,1,2)，f(1,1,1)，e1(1，2)设平面c1e1f的法向量为n(x，y，z)，(1，0)，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n，且平面c1e1f.ce平面c1e1f.课堂检测1若a(1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()a(1,2,3)b(1,3,2)c(2,1,3) d(3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3)【答案】a2下列各组向量中不平行的是()aa(1,2，2)，b(2，4,4)bc(1,0,0)，d(3,0,0)ce(2,3,0)，f(0,0,0)dg(2,3,5)，h(16,24,40)【解析】b(2，4,4)2(1,2，2)2a，ab，同理：cd，ef.【答案】d3设平面内两向量a(1,2,1)，b(1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是()a(1，2,5) b(1,1，1)c(1,1,1) d(1，1，1)【解析】平面的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知b选项适合【答案】b4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分别是u(1,3,0)，v(3，9，0)；(3)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(1，4，3)，u(2,0,3)【解】(1)ab18(3)2(1)20，l1l2.(2)v(3，9,0)3(1,3,0)3，.(3)a、u不共线，l不与平行，也不在内又au70，l与不垂直故l与斜交. 课堂小结1利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的